Математика

Введение. Шар и многогранник

 

В жизни редко возникают задачи, в которых объекты можно описать с помощью одной фигуры. Чаще всего мы моделируем предмет, разбивая его на части, которые можем приблизить простыми фигурами. Таким образом нам приходится работать и описывать комбинации фигур.

 

Так в планиметрии мы много внимания уделили парам «многоугольник-окружность». Треугольник – единственный из многоугольников, который обладает следующим свойством: в любой треугольник можно вписать окружность и вокруг любого треугольника можно описать окружность. Мы определили, в каких точках и на пересечении каких линий находятся центры этих окружностей и как найти их радиусы по элементам треугольника. Например, теорема синусов связывает стороны и углы треугольника с радиусом описанной вокруг него окружности (см. рис. 1):

Рис. 1. Описанная около треугольника  окружность

Но уже для четырехугольников ситуация другая: только некоторые можно вписать в окружность и только вокруг некоторых описать. Мы их назвали вписанными и описанными четырехугольниками (см. рис. 2, 3) и вывели признаки, по которым их можно отличить от остальных четырехугольников.

Рис. 2. Описанный четырехугольник

Рис. 3. Вписанный четырехугольник

Теперь мы рассмотрим комбинации различных тел в пространстве – многогранников и тел вращения. На этом уроке мы рассмотрим, какие бывают их комбинации, и порешаем задачи на эту тему. Начнем с определений. Они очень похожи на аналогичные определения в планиметрии.

 

Сфера (шар) называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере (см. рис. 4). По-другому говорят, что многогранник вписан в сферу (шар).

Рис. 4. Описанная сфера (шар)

Сфера (шар) называется вписанным в многогранник, если сфера касается всех граней многогранника (см. рис. 5). Многогранник называется при этом описанным около сферы (шара).

Рис. 5. Вписанная сфера (шар)

Легко увидеть, что не в любой многогранник можно вписать шар, и не вокруг любого можно описать шар. Контрпримеры можно взять из планиметрии.

 

В прямоугольник, не являющийся квадратом, нельзя вписать круг. Аналогично в прямоугольный параллелепипед, не являющийся кубом, нельзя вписать шар. Вокруг ромба, не являющимся квадратом, нельзя описать окружность. Аналогично вокруг вытянутого гектаэдра невозможно описать шар. Шар можно описать вокруг любого и вписать в любой правильный многогранник.

Рассмотрим еще некоторые, самые простые случаи, когда около многогранника можно описать шар и вписать шар в него.

Задача 1. Доказать, что около пирамиды, боковые ребра которой равны, можно описать шар. Доказать, что центр шара лежит на высоте пирамиды или ее продолжении (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Доказательство.

Понятно, что все точки высоты пирамиды равноудалены от вершин основания. Действительно, раз все боковые ребра равны: , высота  – общий катет, то равны все образованные прямоугольные треугольники , значит, и их вторые катеты: . Тогда вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания (см. рис. 7). Это полезный факт, который стоит запомнить: если у пирамиды равны боковые ребра, то основание ее высоты – центр описанной окружности основания.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 1

Осталось найти на высоте такую точку, которая будет удалена от вершины пирамиды на расстояние, равное расстоянию до вершин основания. Проведем из бокового ребра серединный перпендикуляр к высоте пирамиды. Полученная точка пересечения и будет центром описанного шара (см. рис. 8). В самом деле, т. к. полученный треугольник – равнобедренный, то расстояние от этой точки до вершины пирамиды и до вершины основания равны.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 1

В случае если, точка пересечения окажется на продолжении пирамиды, ситуация не меняется. Расстояние до всех вершин будет одинаковым (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 1

Доказано.

 

Задача 2. Доказать, что около правильной усеченной пирамиды можно описать шар (см. рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 2

Доказательство.

Проведем серединный перпендикуляр из бокового ребра  к высоте пирамиды, проходящей через центры оснований. Получим точку пересечения  на высоте или ее продолжении (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 2

Т. к. треугольник  – равнобедренный, то расстояние от нее до верхней и нижней вершин бокового ребра одинаковы. Но расстояние от любой точки высоты правильной пирамиды до вершин каждого из оснований одинаковы (докажите это самостоятельно). Значит, точка равноудалена от всех вершин усеченной пирамиды.

Легко доказать, что около прямой призмы можно описать шар, если около ее основания можно описать окружность. Тогда центр  шара лежит в середине отрезка, соединяющего центры описанных около оснований окружностей (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 2

Понятно также, что для усеченной пирамиды можно не требовать «правильности», а заменить это условие на менее строгое: достаточно, чтобы вокруг оснований усеченной пирамиды можно было описать окружность и чтобы пирамида была прямой.

Доказано.

 

Задача 3. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю . Каждое боковое ребро составляет угол  с основанием. Найти радиус шара (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 3

Решение.

Т. к. все боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то все прямоугольные треугольники , которые образуются высотой и боковыми ребрами, равны (по катету и острому углу). Значит, основание высоты  – центр описанной около основания окружности (точка пересечения диагоналей прямоугольника). Обратите внимание, что мы получили тот же результат, что и для равных боковых ребер. Это не совпадение – из равенства углов наклона боковых ребер можно вывести равенство их длин и наоборот (через равенство уже рассмотренных нами прямоугольных треугольников).

Центр шара лежит на высоте пирамиды (см. рис. 14). Тогда плоскость треугольника  задает осевое сечение шара. Получается, что окружность, описанная около треугольника , имеет радиус, который равен радиусу шара.

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 3

Рассмотрим треугольник  отдельно (см. рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 3

Противоположная сторона  равна . По теореме синусов имеем:

Ответ: .

 

Поговорим теперь о шаре (сфере), вписанном в многогранник. Пусть в прямую призму вписан шар. Тогда его радиус равен половине высоты призмы:

Более того, вид сверху на эту конструкцию убеждает в том, что в основание вписывается круг с тем же радиусом (см. рис. 16).

Рис. 16. Шар вписан в прямую призму

Более интересен вопрос с пирамидой.

Задача 4. Доказать, что в пирамиду с равнонаклонненными гранями можно вписать шар (см. рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 4

Доказательство.

Как только у пирамиды боковые грани равнонаклонены, то появляется понятие апофемы. Высоты всех боковых граней равны и имеют равный угол наклона с основанием:

Тогда высота  и апофемы  образуют равные прямоугольные треугольники , значит, из равенства их нижних катетов следует, что основание высоты  – центр вписанной окружности (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 4

Этот факт тоже полезно запомнить, он будет часто встречаться при решении различных задач: если у пирамиды боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания.

Понятно, что окружность касается сторон основания в тех же точках, куда опускаются апофемы, т. е. высоты боковых граней. Это следует из теоремы о трех перпендикулярах.

 перпендикулярна ,  – ее проекция, значит, тоже перпендикулярна .

Рассмотрим отдельно треугольник . Проведем биссектрису угла . Получим точку . Из нее опустим перпендикуляр  (см. рис. 19). Очевидно, что .

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 4

Вернемся к пирамиде. Опустив перпендикуляры из точки  на все апофемы, мы получим точки ,  и т. д (см. рис. 20). Отрезки . Более того, они все перпендикулярны граням, к которым проведены.

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 4

 перпендикулярен к основанию, т. к. лежит на высоте пирамиды.  перпенидкулярен  и , значит, и грани . Аналогично для других отрезков. Следовательно,  – центр вписанного в пирамиду шара (см. рис. 21). Т. е. центр вписанного шара в такую пирамиду – это точка пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла между апофемой и ее проекцией.

Рис. 21. Иллюстрация к задаче 4

Доказано.

 

Конус, цилиндр и многогранник

 

 

Рассмотрим теперь вопрос о конусе, вписанном в многогранник и описанном около него. Среди многогранников мы лучше всего изучили призму и пирамиду, таким образом, получается 4 комбинации: конус вокруг и внутри пирамиды, конус вокруг и внутри призмы (см. рис. 22).

 

Рис. 22. Комбинации конуса с пирамидой и призмой

Рассмотрим все эти случаи.

Конус вписан в пирамиду, если его основание вписано в основание пирамиды, а вершина совпадает с вершиной пирамиды (см. рис. 23). Из этого определения следует, что конус можно вписать в пирамиду, если в ее основании лежит описанный многоугольник, в который можно вписать окружность, и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. Отсюда следует, что в любую правильную пирамиду можно вписать конус.

Рис. 23. Конус вписан в пирамиду

Задача 5. Доказать, что в пирамиду, высоты боковых граней которой равны, можно вписать конус.

Доказательство.

Мы уже знакомы с такой пирамидой. Это пирамида с равнонаклоненными гранями. У нее высота проектируется в центр вписанной в основание окружности (см. рис. 24):

Рис. 24. Иллюстрация к задаче 5

В самом деле, опустим у нее высоту . Т. к. высоты боковых граней , то треугольники равны друг другу. По теореме о трех перпендикулярах, перпендикулярны сторонам основания: , т. е. являются радиусами вписанной окружности (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к задаче 5

Доказано.

Рассмотрим противоположную ситуацию. Пирамида вписана в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (см. рис. 26). 

Рис. 26. Пирамида вписана в конус

Таким образом, пирамиду можно вписать в конус, если в ее основании вписанный многоугольник, а вершина проектируется в центр описанной окружности. Такая пирамида является пирамидой с равнонаклоненными ребрами (или, что тоже самое – с равными ребрами). Частным случаем такой пирамиды будет правильная пирамида.

Конус вписан в призму, если его основание вписано в одно основание призмы, а его вершина лежит на другом основании призмы (см. рис. 27). 

Рис. 27. Конус вписан в призму

Понятно, что в таком случае, в основание призмы можно вписать окружность. При этом призма не обязана быть прямой.

Призма вписана в конус, если одно из ее оснований лежит в основании конуса, а другое вписано в сечение конуса плоскостью, параллельной основанию (см. рис. 28).

Рис. 28. Призма вписана в конус

Понятно, что вокруг основания такой призмы можно описать окружность. И, опять-таки, призма не обязана быть прямой.

Последние две комбинации будут нам встречаться довольно редко.

 

Ситуация с цилиндром и вписанными или описанными многогранниками очень похожа на только что рассмотренную для конуса. Мы опять можем выделить  комбинации.

Цилиндр вписан в призму, если его основания вписаны в основания призмы (см. рис. 29).

Рис. 29. Цилиндр вписан в призму

Цилиндр описан около призмы, если его основания описаны около призмы (см. рис. 30).

Рис. 30. Цилиндр описан около призмы

Понятно, что в обоих случаях, призма прямая и ее высота равна высоте цилиндра. Основание призмы является или описанным, или вписанным многоугольником, в зависимости от рассматриваемого случая.

Цилиндр описан около пирамиды, если одно его основание описано около основания пирамиды, а вершина пирамиды лежит на втором основании цилиндра (см. рис. 31).

Рис. 31. Цилиндр описан около пирамиды

Цилиндр вписан в пирамиду, если одно его основание лежат в основании пирамиды, а второе вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию (см. рис. 32).

Рис. 32. Цилиндр вписан в пирамиду

 

Комбинации тел вращения

 

 

Мы можем рассматривать комбинации не только пар «тело вращения-многогранник», но и отдельно тел вращения или отдельно многогранников.

 

Так взаимоотношения конуса с цилиндром очень напоминают взаимоотношения пирамиды и цилиндра. Это неудивительно, если мы вспомним, что конус – предельный случай пирамиды. Понятно, что в конкретный цилиндр можно вписать только один конус: с такими же радиусом и высотой. А вот в конус можно вписать разные цилиндры.

Сфера описана около цилиндра, если окружности его оснований лежат на сфере (см. рис. 33).

Рис. 33. Сфера описана около цилиндра

Сфера вписана в цилиндр, если она касается его оснований в его центрах, а боковой поверхности по большому кругу, параллельному основанию цилиндра (несложно доказать, что в этом случае радиусы сферы и цилиндра совпадают, а высота цилиндра равна диаметру сферы) (см. рис. 34).

Рис. 34. Сфера вписана в цилиндр

Сфера описана около конуса, если окружность его основания и вершина лежат на сфере.

Рис. 35. Сфера описана около конуса

Сфера вписана в конус, если она касается его основания в центре, а боковой поверхности по окружности.

Рис. 36. Сфера вписана в конус

Не стоит заучивать определения всех комбинаций вписанных и описанных тел. Просто представьте себе такую комбинацию и вам не составит большого труда дать ей определение.

 

Задача 6. В цилиндр вписан шар. Найти отношение их объемов (см. рис. 37).

Рис. 37. Иллюстрация к задаче 6

Решение.

Радиусы цилиндра и шара одинаковы

Высота цилиндра равна двум радиусам (диаметру) шара:

Объем шара выражается формулой:

Объем цилиндра выражается формулой:

Найдем отношение объемов:

Т. е. шар, вписанный в цилиндр, занимает  его объема. Заодно отметим тот факт, что не в любой цилиндр можно вписать шар. Необходимо, что высота цилиндра была равна диаметру шара.

Ответ: .

 

Следующее ответвление с решением более сложной задачи с комбинацией тел вращения обязательно для просмотра ученикам профильного уровня, остальным – по желанию.

---

 

Задача

Высота кругового цилиндра на  больше радиуса основания, а площадь полной поверхности равна . Найдите радиус описанной вокруг цилиндра сферы (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение.

Несложно доказать, что центр описанной сферы  лежит на середине высоты цилиндра, соединяющей центры его оснований. Если мы будем знать высоту и радиус цилиндра, то из треугольника  мы найдем радиус сферы.

Площадь полной поверхности цилиндра выражается формулой:

Решим полученное уравнение. Сократим обе части уравнения на :

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

Корни этого уравнения:  и . Отрицательный нам не подходит, тогда .

Высота цилиндра равна:

Половина высоты:

Найдем радиус сферы:

Ответ: .

---

 

Касательные

 

 

Рассматривая вписанную сферу, мы говорили о том, что она касается той или иной плоскости. При этом термин «касание» мы понимали интуитивно. Разберем это понятие формально.

 

Если сфера и плоскость имеют только одну общую точку, то такую плоскость называют касательной. Общую точку называют точкой касания.

Проведем радиус сферы в точку касания плоскости (см. рис. 38).

Рис. 38. Радиус сферы проведен в точку касания плоскости

В силу симметрии понятно, что этот радиус перпендикулярен касательной плоскости. В самом деле, все точки плоскости, находятся дальше от центра шара, чем точка касания. Значит, расстояние от центра шара до точки касания – это кратчайшее расстояние до касательной плоскости, а, значит, это перпендикуляр. Здесь напрашивается аналогия с касательной к окружности. При этом понятие прямая может быть касательной не только к окружности на плоскости, но и к сфере в пространстве.

Любая прямая касательной плоскости, проходящая через точку касания, тоже имеет только одну общую точку со сферой. Такие прямые называют касательными к сфере (см. рис. 39). Т. к. радиус сферы перпендикулярен касательной плоскости, то он перпендикулярен и любой прямой плоскости, в том числе и всем касательным прямым.

Рис. 39. Касательные к сфере прямые

Верно и обратное утверждение: если плоскость проходит через конец радиуса сферы и перпендикулярна к нему, то такая плоскость является касательной.

Доказательство очевидно. Т. к. радиус перпендикулярен плоскости, то общая точка плоскости и радиуса ближайшая к центру сферу. Значит, остальные точки плоскости находятся за сферой.

 

Если две сферы имеют только одну общую точку, то их называют касающимися (см. рис. 40).

Рис. 40. Касающиеся сферы

Сначала ответим на вопрос – а такое вообще возможно? Можно ли две произвольные сферы расположить так, чтобы они касались друг друга? Да, это просто сделать. Возьмем плоскость, отметим на ней точку. Расположим обе сферы так, чтобы они касались плоскости в выбранной точке. Тогда сферы будут иметь лишь одну общую точку, точку касания (см. рис. 41).

Рис. 41. Сферы имеют лишь одну общую точку

Здесь возможны два варианта:

сферы находятся по разную сторону от касательной плоскости. Тогда говорят, что сферы касаются друг друга внешним образом; сферы находятся с одной стороны от касательной плоскости. Сфера меньшего радиуса окажется целиком внутри сферы большего радиуса. В этом случае говорят, что сферы касаются внутренним образом (см. рис. 42).

Рис. 42. Сферы касаются друг друга внутренним образом

С подобной ситуацией мы уже сталкивались в планиметрии, когда изучали окружности, касающиеся внешним или внутренним образом (см. рис. 43).

Рис. 43. Окружности, касающиеся внешним/внутренним образом

 

Список рекомендованной литературы.

1. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Ткачева М. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А. Г., Семенов П. В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – АО «Издательство “Просвещение”»

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Ин­тер­нет-пор­тал «helpy.quali.me»
2. Ин­тер­нет-пор­тал «yaklass.​ru»
3. Ин­тер­нет-пор­тал «yaklass.​ru»

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. Около сферы радиуса  описана правильная четырехугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен . Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
2. В конус высотой  вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами  и . Найти отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.
3. В сферу радиуса  вписан цилиндр радиуса . Найти площадь боковой поверхности цилиндра.