Математика
Тема 12: Элементы математической статистики. Профильный уровеньУрок 2: Формула бинома Ньютона
- Видео
- Тренажер
- Теория
Рассмотрение некоторых формул сокращенного умножения
Вспомним некоторые формулы сокращенного умножения.
– формула квадрата суммы. Рассмотрим, как вывести эту формулу.
раскрываем скобки, перемножая почленно:
Аналогично, для куба суммы:
Раскрываем скобки, почленно перемножая, получаем:
Когда необходимо будет возвести сумму в более высокую степень, умножать почленно скобку на скобку будет проблематично. В этом нам поможет формула бинома Ньютона. По определению, бином – это двучлен, то есть сумма двух слагаемых.
Доказательство формулы бинома Ньютона
Формула бинома Ньютона позволяет возводить сумму двух слагаемых в любую степень.
Попробуем раскрыть скобки. Выберем из каждой скобки . Получим
. Предположим, что из
скобки выбрать
, а из одной скобки выбрать
, получим
. Но получится такое произведение не один раз, как и в случае с формулами квадрата суммы и куба суммы. Ведь
можно выбрать из 1-й скобки, из 2-й скобки и так далее. Количество вариантов выбрать
. получим
Предположим, что из скобок выберем число
, а из оставшихся
скобок выберем число
. Получим
.
Сколько способов из скобок выбрать число
? То есть из
скобок выбрать
скобок, из которых выбрать число
. Это в точности сочетание: выбрать
объектов из
без учёта порядка, а это
. Получаем
Подставляя все возможные k от 0 до n, получим формулу бинома Ньютона:
Перепишем формулу. Заметим, что в формуле есть и
.
– это количество способов выбрать из
объектов один. Таких способов
. Поэтому
в формуле можно заменить на
, а можно заменить на
так как количество способов выбрать из
объектов один равно количеству способов выбрать из
объектов
. Ведь выбрать
– то же самое, что не выбрать
.
Получим:
Формула бинома Ньютона: =
.
Пример использования формулы бинома Ньютона для суммы 4-й степени
Пример.
. В данном решение был изменен порядок следования: начали не с
, а с
. Разницы нет, так как
или же:
Чтоб дописать формулу четвертой степени суммы, нужно знать значение (по треугольнику Паскаля (Источник).
=
.
Пример использования формулы бинома Ньютона для квадрата суммы
Пример.
Найдем квадрат суммы по формуле бинома Ньютона: =
.
Формула бинома Ньютона для разности
Пример. Получение формулы бинома Ньютона для разности
Подставим вместо в формулу бинома Ньютона
:
Получим степень для суммы
и
Когда в соответствующем примере из формулы бинома Ньютона число
в четной степени – знак «-» уйдет, когда в нечетной степени – останется.
Формула бинома Ньютона для разности:
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Hijos.ru (Источник).
- Cleverstudents.ru (Источник).
- www-formula.ru (Источник).
- Edu.sernam.ru (Источник).
- Oldskola1.narod.ru (Источник).
Домашнее задание
- Разложить выражение
по формуле бинома Ньютона.
- Разложить выражение
по формуле бинома Ньютона.
- Разложить выражение
по формуле бинома Ньютона.
- Вычислить число сочетаний
.
- Вычислить число сочетаний
.