Математика

Задача 1

 

Предположим, что какой-нибудь биатлонист поражает 80 % мишеней. Какова вероятность того, что он поразит все 5 мишеней?

 

Решение

Будем считать биатлониста «идеальной машиной», которая всегда попадает с вероятностью 80 %, а также что все выстрелы у этого биатлониста независимые (результат второго выстрела не зависит от первого). В этом случае по правилу произведения мы должны перемножить соответствующие вероятности:

 

Ответ: .

 

Задача 2

 

 

Предположим, что биатлонист поражает 80 % мишеней. Какова вероятность того, что он попадет в цель ровно 3 раза из 5?

 

Решение

Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью .

В данной задаче сказать, что вероятность попадания в цель ровно 3 раз из 5 – это , мы не можем, так как нужно еще учесть, какими выстрелами он попал (см. Рис. 1). Биатлонист может попасть в мишени первыми тремя выстрелами или последними тремя, или попадать через один выстрел и т. д. – это будут непересекающиеся исходы, следовательно, итоговая вероятность равна сумме вероятностей каждого их исходов. Количество исходов определяется, как  (выбор трех мест попаданий из 5). Следовательно, итоговая вероятность равна:

 

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Ответ: 0,2.

 

Схема Бернулли

 

 

То, чем мы занимались при решении предыдущих задач, имеет научное обобщение. Предположим, имеется некоторое испытание, которое проводится n раз подряд (испытания независимы) – это и называется схемой Бернулли или просто схемой повторных независимых испытаний. Однако следует уточнить, что в жизни не бывает идеальных испытаний с абсолютно одинаковыми условиями и абсолютно независимых друг от друга. Так что здесь и далее будем допускать условия почти идеальными – настолько, что неидеальностью можно пренебречь.

 

В математике под схемой Бернулли понимают чуть более частную ситуацию – это когда производится некоторое испытание  раз подряд, но у каждого испытания есть всего два исхода: положительный и отрицательный. Пусть вероятность положительного исхода равна , а отрицательного – q (; ).

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл, – это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие, которое возникает с одной и той же вероятностью.

Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар – соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что из  испытаний будет ровно  успешных ().

 

Количество способов выбрать  мест из  – для удачных испытаний – равно . В каждом выбранном случае вероятность  успехов и  неуспехов – это произведение соответствующих вероятностей (так как события независимы) –

Мы уже решили аналогичную задачу в задаче 2 про биатлониста, где находили вероятность попаданий в цель 3 раза из 5 (; ; ; ):

 

 

Задача 3

 

 

Семья собирается купить 3 Kinder Сюрприза. Вероятность того, что сюрпризом будет машинка, равна 0,25. Вероятность того, что сюрпризом будет кукла, равна 0,75. Какова вероятность того, что из 3 Kinder Сюрпризов сын может достать ровно 1 машинку? Ответ округлите до целого числа процентов.

 

Решение

В данном случае мы имеем схему Бернулли. Мы проводим 3 испытания (). Вероятность удачи (вытащили машинку) – 0,25 (); вероятность неудачи (вытащили куклу) – 0,75 (). Необходимо определить :

 

Ответ: .

 

Задача 4

 

 

Магазин продает компьютеры с гарантией 1 год. Вероятность того, что компьютер сломается в течение года, равна 10 %. Какова вероятность того, что из 5 проданных компьютеров: а) ровно 2 компьютера сломаются за год; б) за год сломается не более 1 компьютера?

 

Решение

Каждая продажа компьютера и его последующая эксплуатация в течение года – испытание Бернулли, так как за этот год компьютер может сломаться (с вероятностью 0,1) или работать исправно (с вероятностью 0,9). Таким образом:

; ;  

а) Посчитаем вероятность того, что из 5 проданных компьютеров ровно 2 сломаются за год:

б) Посчитаем вероятность того, что из 5 проданных компьютеров за год сломается не более 1 компьютера.

Не более 1 – это означает 0 или 1, причем эти исходы непересекающиеся (не может одновременно сломаться и 0, и 1 компьютер). Поэтому общая вероятность – это сумма вероятностей:

Ответ: а); б) .

 

---

Пример

Завод выпускает чайники, вероятность брака в них равна 0,2. Какое наибольшее число чайников может взять магазин, чтобы вероятность того, что в партии взятых чайников есть ровно один бракованный, была не больше 40 %?

Решение

В данной задаче нам необходимо найти такое наибольшее , что .

 

Вероятность положительного исхода (чайник будет бракованным) равна 0,2 – ; вероятность отрицательного исхода (нормальный чайник) равна .

 

Далее перебираем значения  для нахождения наибольшего , при котором :

 

 

 

  – более 40 %, поэтому 4 и более чайников магазин взять не может.

Следовательно, наибольшее число чайников, которое может взять магазин, – 3.

Ответ: 3.

 

Статистическая устойчивость

 

 

На практике, когда мы решаем задачи на подбрасывание монетки, мы полагаем, что вероятность орла равна 0,5. Но почему мы так считаем?

 

В нашей жизни есть такой феномен, который называют статистической устойчивостью. Он состоит в том, что если мы будем повторять одно и то же испытание много-много раз, то частота успеха этого испытания будет стремиться к некоторому конкретному числу. В частности, утверждается, что если мы бросим монетку много раз – миллион, например, то частота выпадения орла будет близка к 0,5, причем она будет тем ближе к 0,5, чем больше испытаний мы проведем.

Однако, это лишь предположение, которое физически подтверждается в экспериментах. Утверждать, что так будет всегда, мы не можем, но допустить это, для удобства вычислений, мы вполне способны. Это и дает нам возможность решать задачи вроде той, что мы решили про компьютеры: иначе мы не можем знать, что вероятность выхода из строя равна 0,1. Только статистика это может показать, и верить мы ей можем с учетом ее возможной погрешности.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. В. 2 ч. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10-11 классов. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. В. 2 ч. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathelp.spb.ru (Источник)

2. Интернет-сайт berdov.com (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

4. Интернет-сайт mirznanii.com (Источник)

 

Домашнее задание

1. Глава 21, задания 93–95 (стр. 404) – М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. (Источник).

2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

3. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.