Математика

Дифференцирование показательной функции с основанием а

 

Определение.

 

Мы умеем дифференцировать показательную и логарифмическую функции, если основание – число . Исходной для нас является следующая формула:

Дано:

Доказать: При любом допустимом основании а

Доказательство:

Вспомним основное логарифмическое тождество.

Обратим внимание, что основание и у показательной, и у логарифмической функций здесь

С помощью предыдущего соотношения дифференцируем, находим производную сложной функции:

Что и требовалось доказать.

Прокомментируем формулу 

Чтобы найти производную показательной функции, надо саму показательную функцию умножить на натуральный логарифм ее основания.

Итак, мы умеем находить производную показательной функции с любым допустимым основанием . Если мы это умеем делать, значит, мы умеем решать все стандартные задачи на производную.

 

Пример 1

 

 

Дано:

 

Найти: Производную в конкретной точке 

Решение.

У нас есть методика. Действуем по ней. Найдем производную в любой точке. То есть продифференцируем  по формуле :

Теперь осталось подставить

Ответ:

Аналогично решается вторая задача:

 

Пример 2

 

 

Дано:

 

Найти: Производную в конкретной точке

Решение. Продифференцируем  по формуле :

Подставим

Ответ:

 

Интегрирование показательной функции

 

 

Далее нам следует научиться интегрировать показательную функцию.

 

Рассмотрим формулу  произвольная постоянная.

Почему? По определению.

Производная правой части должна быть равна . Проверяем: .

То есть формула 1. справедлива.

Теперь вместо  под интегралом , при любом допустимом основании

Проверим эту формулу. То есть возьмем производную правой части и докажем, что она равна функции под интегралом.

Что и требовалось доказать.

Итак, мы умеем дифференцировать показательную функцию. Значит, мы умеем решать стандартные задачи на первообразную этой функции. Вот одна из стандартных задач:

           

 

Пример 3

 

 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

 

Решение.

Речи идет о такой площади криволинейной трапеции: рис. 1.

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

По формуле Ньютона-Лейбница эта площадь равна:

Ответ:

 

Дифференцирование логарифмической функции

 

 

Мы рассмотрели дифференцирование показательной функции. Теперь рассмотрим дифференцирование логарифмической функции. А именно докажем формулу:

 

Дано:

Доказать:

При любом допустимом основании  справедлива формула

Доказательство:

Будем использовать формулу

Вспомним, как можно и нужно переходить к новому основанию :

Так вот, в нашем случае .

Что и требовалось доказать.

Мы умеем находить производную логарифмической функции при любом допустимом основании :

Следовательно, мы умеем решать стандартные задачи с использованием этой формулы. Вот одна из этих задач:

 

Пример 4

 

 

Дано: Логарифмическая функция

 

Найти:

Решение.

Решение находим по стандартной методике.

Первое действие. Находим производную в любой точке :

Второе действие. Находим производную в заданной точке :

Ответ:

Докажем или проверим следующую важную формулу:

Особенности формулы:  в знаменателе в первой степени.

Доказательство:

 

Интегрирование функции

 

 

Раскрываем модуль как положено, рассматриваем два случая:

 

Под модулем стоит положительное число

Производная правой части:

Аналогично доказывается формула во втором случае:

Под модулем стоит отрицательное число

Производная правой части:

Формула доказана.

Рассмотрим одну из типовых задач на доказанную формулу.

 

Пример 5

 

 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

 

.

Решение.

На рисунке показана искомая площадь:

Рис. 2. Площадь фигуры, ограниченной линиями

По формуле Ньютона-Лейбница эта площадь равна:

Ответ:

Итак, мы научились дифференцировать логарифмическую и показательную функции. На следующем уроке мы перейдем к изучению теории равносильности уравнений.

           

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathprofi.ru (Источник).
2. Terver.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Найти производную функции в конкретной точке;
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ;
3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1619, 1644, 1660, 1661.