Математика

Тема 9: Степени и корни. Степенные функции. Профильный уровень

Урок 4: Функции (√x)n, их свойства и графики. Задачи

Теория

Заметили ошибку?

1. Функция y=(√x)ⁿ при четных n, свойства в общем и частных случаях

Начнем с повторения функций для четного n, т. е. функций и т. д. Рис. 1.

Рис. 1. График функции при четных n

Важно, что любая из этих кривых проходит через две точки: (0;0) и (1;1).

Когда аргумент возрастает от нуля до плюс бесконечности, то и функция возрастает от нуля до плюс бесконечности.

Свойства данных функций:

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Функция возрастает на луче ;

4. Функция проходит через точки (0;0), (1;1) при любом n.

Изучаемые функции имеют много общих свойств, но каждая из них единственна и неповторима. Для примера рассмотрим взаимное расположение двух кривых: . Рис. 2.

Пока х изменяется от нуля до единицы, кривая находится над кривой , в точке (1;1) кривые пересекаются и далее меняют свое расположение, когда х меняется от единицы до плюс бесконечности, кривая находится над кривой .

Описанное расположение можно описать так:

Пример 1:

но

Пример 2:

но

Рис. 2. Взаимное расположение графиков функций

2. Функция y=(√x)ⁿ при нечетных n, свойства в общем и частных случаях

Перейдем к функциям для нечетного n, т. е. функциям и т. д., причем в данном случае и . Рис. 3.

Рис. 3. График функции для нечетного n,

Если аргумент меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности, функция возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Основные свойства рассматриваемых функций:

1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. Графики функций проходят через точки (0;0), (1;1), (-1;-1)

4. Функции нечетные, графики симметричны относительно начала координат;

5. Функции возрастают от минус до плюс бесконечности.

Рассмотрим взаимное расположение двух кривых: . Рис. 4.

Рис. 4. Взаимное расположение графиков функций

На участке кривая находится выше кривой , однако когда кривые располагаются наоборот, расположена выше :

3. Решение типовых задач

Пример 3 – решить неравенство:

Чтобы найти решение неравенства, нужно узнать знак числа, стоящего в скобках. Поскольку значение синуса любого угла меньше единицы, разность в скобках будет иметь знак минус. Исходя из этого, получаем решение неравенства: .

Рассмотрим одну из типовых задач для функции для четного n.

Пример 4: найдите область значений функции на интервале .

Решение основывается на свойстве данной функции, а именно ее монотонном возрастании. Найдем значения в границах интервала:

Таким образом, получаем ответ: .

Аналогичная задача существует для функции при нечетном n.

Пример 5: найдите область значений функции на интервале

Данная функция также имеет свойство монотонно возрастать при возрастании аргумента.

Аналогично предыдущему примеру найдем значения функции в граничных точках и получим ответ.

Таким образом, получаем ответ: .

Подобные задачи допускают различные формулировки, рассмотрим одну из них.

Пример 6: найдите наибольшее и наименьшее значение функции на интервале .

Ответ очевиден: наименьшего значения функция достигает при наименьшем значении аргумента, т. е. , наибольшее значение соответствует наибольшему значению х, но наш интервал заканчивается круглой скобкой, поэтому наибольшего х, а значит, и наибольшего у, не существует.

Пример 7: решить уравнение графически.

Разбиваем заданное уравнение на две функции:

Свойства данных функций нам известны, первая монотонно возрастает и обязательно проходит через три известные нам точки, вторая монотонно убывает, поэтому если данная система имеет решение, то оно единственное.

Построим заданные функции:

Рис. 5. Графики функций и

Очевидно, что решением системы является точка с координатами (1;1). Выполним проверку:

Таким образом, получили корень уравнения: .

Пример 8: найдите область определения функции.

Мы помним, что под корнем четной степени должно стоять только положительное выражение, в то время как на корень нечетной степени никаких ограничений не накладывается. Получаем неравенство:

Умножим неравенство на минус единицу, получим:

Получили неравенство в стандартном виде, выпишем и поясним его решения:

Рис. 6. Интервалы знакопостоянства квадратного неравенства

Таким образом, получили ответ: .

Пример 9: найти наибольшее значение функции.

Помним, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное число:

Рис. 7. Интервалы знакопостоянства квадратного неравенства

Определим, в каких пределах изменяется подкоренное выражение . Несложно найти, что оно принадлежит интервалу [0;1].

Рассмотрим функцию . Данная функция монотонно возрастает, поэтому своего максимума достигнет при максимальном значении х, т. е. получаем:

Пример 10: построить график и найти область значений функции.

Рис. 8. Графики функций, пример 10

Первая функция при убывает от двух до нуля. Вторая функция при возрастает от нуля до единицы.

Итак, если аргумент меняется в заданных пределах , функция принимает значения на интервале от нуля до двух, таким образом, получаем ответ: область значений функции .

Свойства функции лежат в основе решения различных задач с параметром, рассмотрим одну из них.

Пример 11: найти число корней уравнения с параметром.

Причем

Напомним, что решение задачи с параметром подразумевает перебрать все возможные значения параметра и для каждого из них указать ответ.

Для решения подобных задач можно применять следующий алгоритм:

1. Построить график функций;

График уже был построен в предыдущем примере, см. рисунок 8.

2. Рассечь график семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ;

Выполним рассечение:

Рис. 9. Рассечение графика прямыми вида

Исходя из рисунка 9, выпишем ответ:

Уравнение не имеет корней при:

Уравнение имеет единственный корень при: .

Уравнение имеет два корня при: .

Итак, мы повторили свойства функций для всех значений n, построили графики и исследовали их. Кроме того, мы научились решать разнообразные типовые задачи, пользуясь свойствами изучаемых функций. На следующем уроке мы рассмотрим свойства корня n-й степени из неотрицательного числа.

Список литературы

Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет