Математика

Задача 1

 

 

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса (см. рис. 1).

Решение

Рис. 2. Подобные треугольники

Заметим, что у отсеченного конуса высота в два раза меньше высоты исходного. Рассмотрим осевое сечение большего и увидим, что треугольники подобны с коэффициентом 2 (см. рис. 2).

Значит, и образующая, и радиус также в два раза меньше.

По формуле , если мы уменьшим радиус и образующую вдвое, то правая часть уменьшится вчетверо, значит, ответ 3.

Ответ: 3.

 

Задача 2

 

 

Длина окружности основания конуса равна 3, а образующая равна 2. Найти площадь боковой поверхности конуса.

 

Решение

Ответ: 3.

 

Задача 3

 

 

 

Рис. 3.  – искомый угол

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади его основания. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания. Ответ дайте в градусах (см. рис. 3).

Решение

Значит, .

Теперь рассмотрим осевое сечение, проведем высоту (ось). Получим прямоугольный треугольник, в котором катет (радиус основания) вдвое меньше гипотенузы, значит, угол при радиусе равен 60 градусам (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Ответ: 60 градусов.

 

Задача 4

 

 

 

Рис. 5. Сечение конуса

  

Рис. 6. Фигура в основании конуса

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4 (см. рис. 5). Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Решение

Рассмотрим основание конуса. Так как хорда  в плоскости сечения равна 4, а радиус равен 6, имеем равнобедренный треугольник, высота  которого по теореме Пифагора равна  (см. рис. 6).

Рис. 7. Конечный рисунок

Рассмотрим треугольник  ( – вершина конуса). Докажем, что высота  этого треугольника и есть искомое расстояние. Во-первых,  по построению. Во-вторых, плоскость  (т.к.  перпендикулярно  и ), а значит, .

Следовательно,  – искомое расстояние. По теореме Пифагора . А тогда .

Ответ: .

 

Задача 5

 

 

 

Рис. 8. Вращаемый треугольник

Рис. 9. Тело, полученное при вращении равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна , а угол при основании равен , вращается вокруг своего основания (см. рис. 8). Найти площадь поверхности полученного при вращении тела (см. рис. 9).

Решение

Рис. 10. Два равных конуса

Если провести в треугольнике высоту из вершины, то получается два прямоугольных треугольника, вращая которые мы получаем два равных конуса, прилегающих друг к другу основаниями (см. рис. 10).

Значит, площадь поверхности искомого тела равна удвоенной площади боковой поверхности любого из конусов. Таким образом, нам надо найти радиус основания и образующую конуса (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к последнему шагу

Радиус основания конуса равен высоте исходного треугольника, а образующая – боковой стороне. Очевидно, высота равна , а значит, , таким образом, окончательный ответ: .

Ответ: .

 

Заключение

 

 

Сегодня мы решили несколько задач с площадями боковой и полной поверхностей конуса.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 10-11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. - М.: Просвещение, 2009. - 255 с.
2. Геометрия 11 класс, А.В. Погорелов, М.: Просвещение, 2002
3. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Egemaximum.ru (Источник).
2. Matematikalegko.ru (Источник).
3. 2mb.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если образующая конуса в два раза больше его высоты.
2. Высота конуса равна , а радиус основания . Найдите площадь полной поверхности конуса.
3. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 4 раза?