Математика

Взаимно обратные числа

 

Мы знаем, что прибавление (или вычитание) нуля ничего не меняет. Говорят, что ноль – нейтральный элемент для сложения.

 

Пары чисел, которые в сумме дают ноль, называют противоположными.

Или еще говорят, что такие числа симметричны для сложения.

При умножении принцип тот же.

Единица – нейтральный элемент для умножения. Умножение (или деление) на 1 ничего не меняет.

Симметричными по умножению будут числа, которые в произведении дают единицу:

Для таких пар чисел, произведение которых равно единице, придумали название: взаимно обратные числа.

Число  обратно 3.

Число 3 обратно .

 и 3 взаимно обратны.

Итак, если , то  и  взаимно обратны.

 

Для чего нужны взаимно обратные числа?

 

 

Сравним с противоположными числами. «Вычесть 5» это все равно, что «прибавить -5».

 

Теперь для умножения:

• «умножить на » эквивалентно «разделить на 3»

• «20 разделить на » равносильно «20 умножить на 7»

Деление на число мы можем заменить умножением на обратное ему число. Или наоборот, умножение можно заменить делением на обратное.

Пример: заменить деление умножением, а умножение – делением.

1.

Для 15 обратным является . В самом деле: 

Значит, если мы заменяем деление умножением, то 15 заменяем на .

2.

Заменим теперь умножение делением.

Для 0,2 обратным является число 5 (). Заменяем:

Итак, мы дали определение взаимно обратным числам и поговорили, как их можно использовать.

 

Если есть число, как найти ему обратное?

 

 

Мы уже знаем, что если дробь умножить на перевернутую дробь, то получится единица. Воспользуемся этим.

 

Пусть у нас есть число и надо найти обратное для него.

Какие могут быть случаи?

1. Число уже имеет вид обыкновенной дроби.

Тогда нужно перевернуть дробь и получим обратное число.

2. Пусть число записано как смешанная дробь.

Смешанную дробь можно записать как обыкновенную и перевернуть.

; 

3. Пусть число целое.

Его можно представить в виде обыкновенной дроби и эту дробь перевернуть. Получим обратное число.

4. Пусть число записано в виде десятичной дроби.

Десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной, перевернуть и, если необходимо, сократить.

; 

Второй способ – записать обратное число для десятичной дроби, поступить как с целым числом.

Для числа 0,75 обратным будет . Конечно, это то же самое обратное, что и найденное первым способом: 

Итак, во всех этих случаях нет никакой сложности найти для числа ему обратное.

 

Особые случаи нахождения обратных чисел

 

 

1. Исходное число 0.

 

Если ноль умножить на любое число, получится ноль.

То есть невозможно умножить ноль на какое-то число и получить единицу. Значит, для нуля не существует обратного. Это хорошо согласуется с нашими договоренностями о том, что на ноль делить нельзя. Число 0 можно представить, как , но переворачивать такую дробь нельзя, иначе мы получим деление на ноль.

2. Исходное число 1.

Мы знаем, что . То есть по определению, 1 и 1 – взаимообратные числа. Иначе говоря, единица обратна сама себе.

Если применить метод переворачивания дроби, то получим то же самое.

 

Способы нахождения обратных чисел

 

 

Самый простой метод получить обратное число – это представить исходное число в виде обыкновенной дроби и перевернуть.

 

 и  взаимно обратные.

Второй способ, почти совпадающий с этим, – это разделить единицу на исходное число.

 и  взаимно обратные.

В самом деле, даже если , то, разделив 1 на эту дробь, мы получим перевернутую дробь.

; 

Для нуля обратного не существует.

Единица сама для себя является обратным числом.

А как обстоят дела с обратными для отрицательных чисел?

Точно так же, как и с положительными.

Для числа -5 обратным является , так как их произведение равно единице.

 

Свойство взаимно обратных чисел

 

 

Из способа нахождения обратного числа методом переворачивания следует очевидный, но важный факт.

 

Понятно, что числа  и  взаимно обратны.

У первой дроби числитель меньше знаменателя. Мы такую дробь называем правильной и знаем, что она меньше единицы. У второй дроби числитель больше знаменателя, мы называем ее неправильной и она больше единицы.

Это справедливо всегда. Возьмем для простоты дробь, у которой положительные числитель и знаменатель.

То одна дробь будет правильной, а другая неправильной.

 и , ,

То есть, если есть два положительных взаимно обратных числа, то одно больше единицы, другое меньше единицы. Иными словами, взаимно обратные положительные числа находятся по разные стороны от единицы. Исключение составляется сама единица.

Например:

 и

 и 

 и

Конечно, это понятное свойство. Ведь если оба числа больше единицы, то их произведение тоже больше единицы и они не могут быть взаимно обратными.

Являются ли числа взаимно обратными?

 и 

Они оба больше единицы.

 и 

Их произведение тоже будет больше единицы. Они не могут быть взаимно обратными.

Самостоятельно подумайте, что можно сказать про отрицательные взаимно обратные числа.

---

Существование и единственность

В математике всегда рядом ходят два вопроса: вопрос существования и вопрос единственности.

У каждой страны есть столица? Да.

Единственная ли она? Да.

У каждого человека на голове шапка? Нет.

Если есть, то она одна? Обычно да.

На вопрос существования для обратных чисел мы уже ответили: для каждого числа, кроме нуля, существует обратное, для нуля не существует.

Теперь вопрос единственности: для числа существует только одно обратное? Или их может быть несколько?

Попробуем ответить на этот вопрос в общем виде. Итак, пусть есть число  и два числа обратны ему  и .

Но тогда:

Разделим обе части на :

Обратные числа оказались равны друг другу. Иными словами, нельзя одно и то же число  (не равное нулю) умножить на разные числа и получить одинаковый результат, единицу. Таким образом, ответ на вопрос о единственности положительный:

Для любого числа, не равного нулю, существует только одно число, ему обратное.

---

Взаимно обратные и противоположные числа

У нас два основных действия в математике: сложение и умножение. Вычитание и деление являются производными от них, вторичными.

Начнем со сложения.

Есть одно число, прибавление которого ничего не меняет, – это ноль. Говорят, что ноль является нейтральным для сложения.

Числа, которые в сумме дают ноль, мы называется противоположными. Говорят, что они симметричны по сложению.

Все числа делятся на две большие части. С одной стороны от 0 находятся все положительные числа, а с другой – все отрицательные. Два противоположных числа обязательно находятся по разные стороны от нуля. Одно – положительное, другое – отрицательное.

 и

Теперь перейдем к умножению. Здесь очень похожая ситуация.

Есть одно число, которое ничего не меняет при умножении на него, – это единица. Единица нейтральна для умножения.

Числа, произведение которых равно единице, мы назвали взаимно обратными. Они симметричны по умножению.

Если говорить только о положительных числах, то два взаимно обратных числа находятся по разные стороны от единицы.

Итак, можно сказать об очень серьезном сходстве (см. Табл. 1).

И у сложения, и у умножения существует нейтральный элемент – это ноль для сложения и единица для умножения.

Существуют пары симметричных чисел. Для сложения – это противоположные, для умножения – это обратные.

Табл. 1. Сходство сложения и умножения

Есть и отличия.

Рассмотрим две картинки с применением числового луча (см. Рис. 1).

Рис. 1. Расположение нейтрального и симметричных чисел для сложения, расположение нейтрального и обратных чисел для умножения

Для сложения картинка чуть более «красивая». Для всех чисел есть симметричное. Ноль симметричен сам себе. Итак, здесь полная симметрия. Единица здесь такой же элемент, как все остальные, для единицы есть противоположный, -1, как для 3 есть -3.

Чуть сложнее картина с умножением (см. Рис. 2).

 

Рис. 2. Расположение нейтрального и обратных чисел для умножения

Если смотреть только на положительные числа, то они делятся на две части единицей. Два взаимно обратных числа находятся по разные стороны от единицы.

Отрицательные числа точно так же делятся на две части минус единицей. -3 и  по разные стороны от -1.

Ноль не имеет симметричного себе элемента. В некоторых рассуждениях говорят, что симметричный ему элемент находится в бесконечности слева или справа.

Можно сказать: «сложение не знает про умножение». Поэтому нейтральный элемент умножения не играет особой роли в сложении.

Когда же строится умножение, то сложение уже известно. И ноль занимает свое особое место в этой модели.

 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я. Жохов В.И.Чесноков А.С. Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006. 

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. – ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)

2. Интернет-сайт math-prosto.ru  (Источник)

3. Интернет-сайт «Математика онлайн» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я. Жохов В.И.Чесноков А.С. Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. (ссылка см.1.2)

2. Домашнее задание:  № 578, №579, № 580 (а, в).

3. Другие задания: № 623, № 593, № 587