Математика

Введение

 

Все вы помните, что такое прямой угол. В математике и в жизни прямые углы встречаются довольно часто. Если вы рассмотрите квадрат, то заметите, что стороны квадрата пересекаются под прямым углом. Если рассмотреть железнодорожное полотно, можно увидеть, что рельсы и шпалы расположены под прямым углом друг относительно друга; стены дома чаще всего делают под прямым углом к фундаменту и т. д.

 

 

Перпендикулярность прямых, отрезков и лучей

 

 

В математике есть специальное обозначение для прямых, которые пересекаются под прямым углом. Такие прямые называют перпендикулярными. Записывают это так: . Читается: « перпендикулярна ».

 

Перпендикулярными бывают и отрезки. Отрезки называются перпендикулярными, когда прямые, которые их содержат, перпендикулярны. Данное утверждение легко понять, вспомнив квадрат – прямые, содержащие соседние стороны квадрата, перпендикулярны, значит, и отрезки (стороны) перпендикулярны.

Отрезки, представленные на рисунке 1, также перпендикулярны. (См. Рис. 1.) Почему?

Рис. 1. Перпендикулярные отрезки

Если эти отрезки продлить до прямых, то прямые пересекутся под прямым углом. Значит, если прямые перпендикулярны, то и отрезки тоже перпендикулярны, хотя и не пересекаются. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Если перпендикулярны прямые, то перпендикулярны и отрезки, лежащие на них

Лучи называют перпендикулярными, если прямые, содержащие эти лучи, перпендикулярны. (См. Рис. 3 и 4.)

Рис. 3. Перпендикулярные лучи

Рис. 4. Непересекающиеся перпендикулярные лучи

 

Построение перпендикулярных прямых

 

 

Есть несколько способов:

 

1. С помощью чертежного угольника, т. к. две его стороны образуют прямой угол.
2. С помощью транспортира – отметить угол  и провести прямые, которые его образуют.
3. С помощью циркуля и линейки (с этим способом вы познакомитесь в 7 классе).

 

Особенность перпендикулярных прямых

 

 

Почему именно такой тип прямых выделили в отдельный класс? Почему не говорим отдельно о прямых, которые просто пересекаются друг с другом под каким-то другим углом, например ? Ответ следующий. При пересечении прямых у нас образуются углы, чаще всего они не равны. (См. Рис. 5.)

 

Рис. 5.

Но если мы говорим о перпендикулярных прямых, то это единственный случай, когда образовавшиеся углы равны между собой – все они прямые. (См. Рис. 6.)

Рис. 6.

Именно поэтому эти прямые и выделили, тем более в жизни мы с ними сталкиваемся чаще, чем с прямыми, пересекающимися под каким-либо другим углом.

 

Вопросы, связанные с перпендикулярными прямыми

 

 

1.      На некоторой прямой отметили точку. (См. Рис. 7.)

 

Рис. 7. Точка на прямой

Сколько прямых можно провести через эту точку так, чтобы они были перпендикулярны исходной прямой? Ответ: только одну. Нужно приложить угольник и провести соответствующую прямую. (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Через точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной

2.      Дана прямая и точка вне её. (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Прямая и точка вне её

Сколько прямых проходят через эту точку так, что они перпендикулярны исходной прямой? Ответ: одна прямая. Опять же, это можно сделать с помощью угольника. (См. Рис. 10.)

 

Рис. 10. Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной

 

Параллельность прямых, отрезков и лучей

 

 

Мы говорили о пересекающихся прямых. Но бывает же так, что прямые не пересекаются. С этим мы сталкиваемся и в жизни – у лыжников во время спуска правая лыжня и левая не пересекаются; или дорожки в бассейне – они также не пересекаются; или железнодорожное полотно – рельсы не пересекаются. Для непересекающихся прямых также есть специальное название. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

 

Очень важно здесь добавить «на плоскости», потому что, когда в 10 классе вы столкнетесь с прямыми в пространстве, окажется, что есть прямые, которые не пересекаются, но и не являются параллельными. Сейчас же речь идет о плоскости, и на плоскости есть два случая: прямые либо пересекаются, либо параллельны (не пересекаются).

Для параллельных прямых есть специальная запись: . Читается: « параллельна ».

По аналогии с перпендикулярными отрезками и лучами имеются также определения параллельных отрезков и лучей. Отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Лучи называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Параллельные отрезки и лучи

Таким образом, когда мы говорим о дорожках в бассейне, речь идет скорее о параллельных отрезках (дорожки ограничены), нежели о прямых.

 

Вопросы, связанные с параллельными прямыми

 

 

Верно ли, что если два отрезка не пересекаются, то они параллельны? Ответ: нет, не верно. Приведем контрпример. (См. Рис. 12.)

 

Рис. 12. Контрпример

Эти два отрезка не пересекаются, но они не являются параллельными, т. к. прямые, содержащие их, пересекаются. Аналогично с лучами – если лучи не пересекаются, они не обязательно параллельны. (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Лучи не пересекаются, но и не являются параллельными

Примеры, которые мы приводили в начале урока, также могут быть контрпримерами – лучи и отрезки не пересекались, но и не являлись параллельными, потому что они перпендикулярны (См. Рис. 1. и Рис. 4.)

 

Построение параллельных прямых

 

 

Рассмотрим конструкцию, состоящую из трех прямых  и , где . (См. Рис. 14.)

 

Рис. 14. Данная конструкция

Тогда что мы можем сказать про прямые  и ? Судя по картинке, они параллельны. Доказать мы этого пока не можем, но тем не менее это как раз и есть способ построения параллельных прямых. То есть параллельные прямые строятся через перпендикулярность – сначала проводят прямую, перпендикулярную исходной, (в нашем случае ), а потом проводят прямую, перпендикулярную второй (в нашем случае ).

Отметим, что из указанных фактов следует параллельность противоположных сторон квадрата и прямоугольника – они перпендикулярны одной и той же стороне.

Есть еще один интересный факт. Проведем две параллельные прямые, а также третью прямую, которая параллельна первой, то есть . (См. Рис. 15.)

Рис. 15.

Судя по рисунку  тоже. Этот факт верен, но, опять же, доказывать мы его будем в 7 классе.

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы познакомились с понятиями параллельных и перпендикулярных прямых; мы выяснили, какие отрезки и лучи называют перпендикулярными, а какие – параллельными; узнали, как строятся перпендикулярные прямые.

 

 

Список литературы

1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2014 – 264 с.
2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Учебник в 3 частях. – М. «Просвещение»: 2-е изд., перераб. – М.: 2010; Ч.2 – 128 с.
3. Виленкин Н.Я. и др. Математика. Учебник для 6 класса. – М.: ИОЦ «Мнемозина», 2013 – 288 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. Shkolo.ru (Источник).
3. Shkolo.ru (Источник).

 

Домашнее задание

• Найдите перпендикулярные отрезки (См. Рис. 1.)

Рис. 1.

• Дан шестиугольник . Укажите сторону, параллельную стороне .
• Сколько параллельных прямых данной прямой можно провести через данную точку?