Математика

Отношения между объектами

 

Любой объект (стул, стол, собака, человек) может быть предметом исследования. Но исследовать можно не только сами объекты, но и отношения между ними. Мы часто рассуждаем об отношениях между людьми – дружбе, ненависти, любви. На них непосредственно нельзя указать, они неосязаемы, но вместе с тем мы говорим о них, описываем, прекрасно друг друга понимаем, когда слышим: «Петя дружит с Васей».

 

В жизни мы вводим отношения не только между людьми. Например, на карте есть два города A и Б – это два объекта. А расстояние между A и Б – это отношение между ними. На него уже нельзя указать пальцем. Или фраза: «Плед лежит на стуле». Плед и стул – это объекты, а вот «лежит на» – это уже отношение между пледом и стулом. Оказывается, мы можем изучать не только сами объекты, но и отношения между ними. Этим мы сейчас и займёмся.

 

Определение функции

 

 

У каждого человека есть размер обуви. Людей очень много, а размеров обуви мало. Если с одной стороны отметить всех людей (например, в виде точек), а с другой – существующие размеры обуви, то можно от каждой точки провести стрелку к одному из размеров обуви (Рис. 1) (в математике используют такую терминологию: можно отобразить множество людей на множество размеров обуви). Или, говоря по-другому, между этими множествами можно установить соответствие.

 

 

Рис. 1. Отображение множества людей на множество размеров обуви

Можно установить и обратное соответствие: каждый размер обуви есть у некоторого подмножества людей (Рис. 2).

Рис. 2. Отображение множества размеров обуви на множество людей  

Другой пример: обычные часы. Каждому времени суток соответствует какое-то определённое положение стрелок на этих часах. И, наоборот, каждое положение стрелок соответствует какому-то времени суток. Обратите внимание: во всех примерах мы рассматриваем не сами объекты (люди и обувь, время суток и стрелки часов), а новое понятие – отношение между объектами.

Итак, как видим, примеров разных отношений очень много. А как говорить о них точно? Все ли нужно изучать? И как это делать? Все отношения задают между множествами какое-то соответствие. Некоторые из соответствий особенные, они каждому элементу из одного множества ставят в соответствие ровно один элемент из другого множества. Такие соответствия, которые называются функциями, мы и будем изучать.

 

В наших примерах: у человека может быть только один размер обуви, каждому времени суток соответствует только одно положение стрелок на часах. А вот, например, 36 размер обуви может быть у большого количества людей. Поэтому такие соответствия функциями не будут.

Дадим строгое определение функции. Функция – это соответствие между двумя множествами такое, что каждому элементу одного множества  ставится в соответствие единственный элемент другого множества . Первое множество называют областью определения функции, а второе – областью значений функции. Обозначают:  и  соответственно.

Пример 1: задана функция, которая ставит в соответствие каждому человеку размер его обуви. Область определения функции  – множество людей, область значений функции  –  множество размеров обуви.

Пример 2: задана функция, которая ставит в соответствие каждому дню месяца среднюю температуру воздуха. Область определения функции  – множество дней месяца, область значений функции  –  множество температур (Рис. 3).

 

Рис. 3. Соответствие между днями месяца и средней температурой воздуха  

 

Числовая функция

 

 

В математике мы чаще будем работать с одним из видов функций – числовыми функциями. Числовая функция – это функция, областью определения  и областью значений  которой являются числовые множества. Например, функция пройденного пути в зависимости от времени (при равномерном движении): . Такая функция является числовой.

 

Числовые функции можно задавать разными способами.

1. Словесный.
2. Аналитический.
3. Графический.
4. Табличный.

В рассмотренном выше примере мы задали функцию с помощью формулы, такое способ задания называется аналитическим. Рассмотрим другой пример. Каждому числу поставим в соответствие его квадрат. Это функция. На самом деле это будет функция площади квадрата в зависимости от длины его стороны:  (если мы оговорим, что ).

Мы будем изучать различные числовые функции. Что вообще можно в них изучать? У функций могут быть наибольшие и наименьшие значения – максимумы и минимумы, функции могут возрастать и убывать и т.д. Все эти свойства функций помогают решать конкретные прикладные задачи (например, нахождение оптимальных параметров, при которых та или иная величина достигает своего максимума – доход, эффективность и т.д., или минимума – расход, количество ошибок и т.д.). Но для того чтобы решать задачи, нужно выделить общие свойства функций и изучить их.

Повторим рассуждение, которое уже озвучивали в наших уроках. Есть заводы, которые создают различные инструменты. А дальше каждый сам использует созданные инструменты в своих целях: с помощью отвёртки можно закручивать и откручивать винты и шурупы, но можно ею же пытаться открыть дверь или забить гвозди. Так и математика – завод инструментальный, создаёт различные инструменты, которые потом могут использоваться в физике, экономике и других сферах для решения конкретных прикладных задач.

---

 

Естественные области определения и значений 

В примере с площадью квадрата мы сказали, что . Т.е. наложили некоторое ограничение на область определения функции: . Получается, что  и  – это две различные функции? Да, именно так, потому что первая функция определена при неположительных значениях переменной (Рис. 1), а вторая – нет (Рис. 2).

Рис. 1. График функции

Рис. 2. График функции

То есть для задания функции, вообще говоря, недостаточно просто задать формулу соответствия. Необходимо ещё указать области определения и значений функции. Но чаще всего этого не делают, предполагая, что они естественные. Естественная область определения при аналитическом задании – это область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Пример 1.

Область определения:

Записывают так:

Пример 2.

Область определения:

Отсюда:

Естественная область значений – это множество значений, которые может принимать функция. Например, естественная область значений функции  – это все числа больше либо равные . Записывают так:

---

 

 

Графический способ задания функции

 

 

Анализировать функцию иногда легче, если построен её график. По нему часто легко определить, на каких промежутках функция убывает или возрастает, где у неё максимум и минимум и т.д. Таким образом, у графического способа задания функции (задание функции с помощью графика) и аналитического разные цели. Если сказать грубо, то аналитический способ более точный, он позволяет вычислить значение функции в любой точке и выполнять с функцией различные преобразования. Графический способ более наглядный – по графику можно сделать вывод о тех или иных свойствах функции.

 

Рассмотрим графический способ подробнее. График функции представляет собой совокупность точек , где  и  – соответствующие значения из областей определения и значений (Рис. 4).

 

Рис. 4. График функции

График задает соответствие между множествами  и  или – что то же самое – задает функцию. При этом для изображения необходимо задать соответствующую систему координат. Чаще всего мы будем использовать декартову систему координат.

---

 

Область определения и область значений функции при графическом задании функции

Рассмотрим функцию, заданную следующим графическим образом (Рис.1).

Рис. 1. График функции

Область определения функции – это все значения, при которых определена функция. Для рассматриваемой функции область определения функции – это все числа от  до  включительно (Рис. 2).

Рис. 2. Область определения рассматриваемой функции

Область значений функции – это все значения , которые принимает функция.

Для рассматриваемой функции область значений функции – это все числа от  до  включительно (см. рис. 3):

Рис. 3. Область значений рассматриваемой функции

Если строго, то область определения функции  – это проекция графика на ось абсцисс, а область значений функции – проекция графика на ось ординат. Проекция – понятие, которое нам знакомо из геометрии. Слово неслучайно созвучно со словом прожектор (оба от латинского projectio – «бросание вперёд») Если мы посветим на график функции прожектором следующим образом, то тень, которую мы увидим на экране,  – это проекция графика на ось , т.е. область значений функции (Рис. 4).

Рис. 4. Проекция графика на ось

Аналогично тень на  будет проекцией графика на ось  (Рис. 5), т.е. область определения функции.

Рис. 5. Проекция графика на ось

---

 

Словесный и табличный способы задания

Любую функцию можно задать различными способами. Рассмотрим на примере конкретной функции. Словесный способ: функция, которая ставит в соответствие каждому числу его квадрат. Табличный способ: при задании табличным способом указываются пары соответствующих значений.

При таком задании функции область определения функции и область задания функции – это множество значений переменных, которые указаны в таблице:

Аналитический способ: с помощью формулы: . Графический способ задания функции (Рис. 1).

Рис. 1. Графический способ задания функции

---

 

 

Линейные функции

 

 

Для задания числовых функций мы чаще всего будем использовать аналитический и графический методы, т.к. при использовании этих методов легче изучать свойства функций. Различные свойства функции мы будем изучать на протяжении всего курса алгебры, а сейчас рассмотрим несколько частных случаев функций.     Вернемся к функции пройденного пути при равномерном движении, т.е. , где  – путь,  – скорость,  – время. Например, при скорости  получим функцию . Если , то , если , то , если , то . Мы видим, что при одинаковом изменении аргумента , у нас одинаковое изменение значения функции – пройденного пути .     Функции, обладающие таким свойством,называются линейными, в общем виде их можно записать так: . Графиком таких функций будет прямая.     Пример линейной функции: пусть . Построим график этой функции. Нарисуем таблицу и заполним ее, т.е. при двух разных значениях  найдем, чему равен . И по полученным значениям построим прямую на координатной плоскости.  

 

Итак, точки  принадлежат графику функции. Отметим эти точки на плоскости и проведем через них прямую (Рис. 5). 

Рис. 5. График линейной функции  

Эта прямая и является графиком функции . Обратим внимание, что для построения графика линейной функции нам достаточно двух точек. Это связано с тем, что мы знаем: графиком будет прямая, а любая прямая на плоскости однозначно задаётся по двум точкам.

 

Нелинейные функции

 

 

Естественно, не все функции линейные. Например, мы знаем, что площадь квадрата зависит от его стороны следующим образом: . Попробуем приблизительно построить ее график по точкам. Поскольку сторона квадрата больше 0, то . Значит, точка  не принадлежит графику функции (точку  «выкалывают», на графике обводят в кружок).

 

Снова нарисуем таблицу, возьмем некоторые значения  и найдем значения  при этих фиксированных значениях .

Нарисуем эти точки на плоскости и посмотрим, какая линия через них проходит (Рис. 6).

Рис. 6. График нелинейной функции

 

Данная функция уже не является линейной, так как при увеличении  на 1,  увеличивался на разные величины, в зависимости от начального значения переменной . Такие функции называются нелинейными. Рассмотренная функция является примером квадратичной функции.

Сторона квадрата не может быть отрицательной или равной 0, поэтому обобщим и построим график функции  для любых значений аргумента. Построим график данной функции по точкам. Снова нарисуем таблицу, заполним ее разными значениями  и посчитаем, чему равен  при каждом из этих значений .

 

Отметим эти точки на плоскости и проведем кривую, которая проходит через них (Рис. 7). Полученный график называют параболой.

Рис. 7. График квадратичной функции

В общем виде квадратичная функция записывается так: , где  – некоторые числа, .

 

---

 

Другие примеры нелинейных функций

Если рассмотреть зависимость времени на преодоление заданного расстояния в зависимости от скорости, то получим пример еще одного вида функций – обратной пропорциональности. Например, если расстояние между двумя городами равно , то , где  – время,  – это скорость (Рис. 1).

Рис. 1. График обратной пропорциональности

Рассмотрим, как выглядит график в общем виде (для любых допустимых значений аргумента). Функция имеет следующий вид: . Рассмотрим графики функции при  и  (Рис. 2).

Рис. 2. Графики функции  при  и

Рассмотрим ещё один пример. Объем куба зависит от его стороны: . Такая функция называется кубической (). Попробуем приблизительно построить ее график по точкам (Рис. 3).

Рис. 3. График функции

Сторона куба не может быть отрицательной или равной , поэтому обобщим и построим график функции  для любых значений аргумента (Рис. 4).

Рис. 4. График функции

---

 

Заключение

На этом уроке мы познакомились с понятием функция (отношение между множествами объектов).

Для того чтобы определить функцию, необходимо задать три вещи: область определения функции , область значений функции , правило, по которому каждому элементу из первого множества ставится в соответствие единственный элемент второго (Рис. 8).

Рис. 8. Вещи, необходимые для определения функции

Основные способы задания функции: аналитический, графический, словесный, табличный. На уроках математики мы чаще всего будем обращаться к аналитическому и графическому способам. На следующем уроке мы более подробно изучим свойства одного типа функций, а именно: линейной функции.

 

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2017.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2014.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2013

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «ege-study.ru» (Источник)

2. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник)

3. Интернет-портал «algebraclass.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Площадь прямоугольника со сторонами  см и  см равна  . Выразить формулой зависимость  от . Для значения аргумента  найти соответствующее значение функции .

2. Функция задана формулой . Найти значение функции, соответствующее значению аргумента, равному .

3. Найти область определения функции: .