Математика

Подобные фигуры

 

До сих пор мы говорили о равенстве: фигуры равны, если при наложении они совмещаются, т. е. у них совпадают и форма, и размеры.

 

Иногда нас могут интересовать только размеры фигур без учета их формы. Для этого мы ввели такую характеристику, как площадь. Если у фигур площади равны (такие фигуры называются равновеликие), то они занимают одну и ту же (по размерам) часть плоскости, при этом форма фигур нас не интересует (см. рис. 1).

Рис. 1. Фигуры с равными площадями

Но чаще всего нас будет интересовать совпадение фигур по форме без учета размеров. Почему так? Монеткой в руке можно полностью закрыть Луну. И монета, и Луна имеют форму круга, но радиус монеты несколько сантиметров, а Луны – больше тысячи километров.

На видимые размеры объектов влияют не только их реальные размеры, но и расстояние до этих объектов. Если изобразить два объекта, то без указания масштаба нельзя будет понять, одинаковые ли у них размеры. А вот форма объекта от расстояния до него и введенного масштаба не зависит: форма Луны не изменится от того, приблизимся мы к ней или удалимся от нее.

У фигур с одинаковой формой много общих свойств, поэтому, изучив одну из них, мы получим результат для всех объектов такой формы.

Теперь нужно определиться, что такое «одинаковая форма». Если поле нужно разделить между пятью людьми, то никто не будет бегать по полю с линейками. Поле нарисуют на бумаге, разделят сначала его и только потом – настоящее поле. Очень часто большую фигуру-оригинал заменяют меньшей, но такой же формы. Поле, план квартиры, карта города, схема кинотеатра и т. д. – это примеры соответствия: если наша цель – выбор места, то схема зала эквивалентна самому залу.

В геометрии соответствие называется подобием. Значение этого слова нам известно: два объекты подобны, если они похожи. Но что такое похожесть с точки зрения геометрии?

Дети рисуют дом. На каком из рисунков получилось похоже (см. рис. 2)? На третьем.

Рис. 2. Рисунки домов

Мы уже говорили об этом, когда изучали пропорции: их размеры пропорциональны. Итак, для похожести требуется выполнение двух условий: одинаковая форма и пропорциональность размеров.

Поскольку мы выделяем различные по форме классы фигур (треугольники, четырехугольники, окружности и т. д.), то, очевидно, что можно говорить только о подобии внутри одного класса: подобные треугольники, подобные четырехугольники, подобные окружности и т. д.

Пропорциональность размеров говорит о том, что если один из подобных объектов увеличить (или уменьшить) в несколько раз, то он совпадет с другим. Тогда понятно, что все окружности подобны, т. к. они задаются всего одним параметром – радиусом. Действительно, возьмем любые две окружности с радиусами . Совместим их центры (см. рис. 3). Если увеличить радиус первой окружности в  раз, то она совпадет со второй.

Рис. 3. Окружности радиусов  и  с общим центром

Поэтому монеткой можно закрыть Луну, Солнце и любой другой объект в форме круга (главное – подобрать правильное соотношение расстояний).

С треугольником все немного сложнее. Понятно, что эти два треугольника не подобны (см. рис. 4): как один из них ни увеличивай, он со вторым не совпадет.

Рис. 4. Неподобные треугольники

Как мы уже знаем, чтобы задать треугольник, нужно хотя бы 3 параметра. Поэтому нужно ввести точное определение подобных треугольников и изучить их свойства. Этим мы сейчас и займемся.

 

Подобные треугольники

 

 

Из третьего признака равенства треугольников мы знаем, что треугольник можно однозначно задать длинами его сторон. Поэтому, чтобы обеспечить пропорциональность размеров двух треугольников (см. рис. 5), достаточно потребовать, чтобы были пропорциональны длины их сторон:

 

Число  называется коэффициентом подобия.

Рис. 5. Подобные треугольники  и

А что можно сказать об углах подобных треугольников? Совместим вершины  и  так, чтобы прямые  и  совпадали (см. рис. 6).

Рис. 6. Совместили вершины  и  так, чтобы прямые  и  совпадали

Мы знаем, что величина угла не зависит от длин его сторон. Поэтому, как бы мы ни увеличивали или ни уменьшали размеры треугольника, если прямые  и  не совпали, они уже не совпадут. Значит, чтобы треугольники имели одинаковую форму, их углы должны совпасть.

Теперь мы можем дать формальное определение подобных треугольников. Треугольники  и  подобны, если:

Число  называется коэффициентом подобия. Он и показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого.

Сразу можно сделать несколько выводов. Т. к. у треугольников одинаковая форма, а их размеры пропорциональны, то коэффициент  – это отношение не только длин сторон двух треугольников, но и любых других их сходственных элементов (высот, медиан, биссектрис, радиусов вписанных и описанных окружностей). Например, высоты  и  (см. рис. 7) тоже будут относиться с коэффициентом :

Интуитивно это понятно, но строго мы докажем это в конце урока.

Рис. 7. Высоты  и  подобных треугольников  и

Используя то, что  и , можем получить, что площади подобных треугольников относятся следующим образом:

Т. е. площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Это вполне объяснимо: площадь – это характеристика места, которое фигура занимает на плоскости, т. е. в двух измерениях (длина, ширина). И измеряется площадь в квадратных единицах. Поэтому, если все линейные объекты изменились в  раз, то площадь – в  раз.

Например, если сторону квадрата увеличить в 2 раза, то его площадь будет равна: . По аналогии, когда мы будем говорить об объемных телах, то у подобных тел они будут отличаться в  раз.

 

Обобщенная теорема Фалеса

 

 

Определение, которое мы сформулировали, является избыточным – чтобы треугольники были подобны, не нужно требовать и пропорциональности трех пар сторон, и равенства трех углов.

 

Для того чтобы убедиться в том, что два треугольника являются подобными, существуют признаки подобия треугольников (по аналогии с признаками равенства). И в них не требуется проверять все утверждения, перечисленные в определении.

Чтобы разобраться в этом, рассмотрим очень древний и очень удобный геометрический инструмент – теорему Фалеса. Фалес Милетский, именем которого названа теорема, жил более 2,5 тысяч лет назад.

Рис. 8. Фалес Милетский

Теорема Фалеса достаточно наглядна и не вызывает особых сомнений даже без строгого доказательства: если параллельные прямые отсекают равные отрезки на одной стороне угла, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к теореме Фалеса

Более общая формулировка этой теоремы (ее еще называют обобщенной теоремой Фалеса или теоремой о пропорциональных отрезках): параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.

Т. е. если пересечь угол несколькими параллельными прямыми (в отличие от классической формулировки можно начертить прямые на разных расстояниях друг от друга), то отношение двух отрезков на одной стороне угла будет равно отношению соответствующих отрезков на второй стороне (см. рис. 10):

Рис. 10. Иллюстрация к теореме Фалеса

Доказывать эти теоремы мы пока не умеем. Но обязательно сделаем это чуть позже. Пока возьмем их на вооружение как известные нам факты.

---

 

Теорема Фалеса в жизни

Чтобы проиллюстрировать применение теоремы Фалеса, рассмотрим такой пример.

Пусть два корабля движутся так, что их курс друг относительно друга не меняется (под курсом в данном случае мы понимаем угол между направлением движения судна и направлением на второе судно) (см. рис. 11).

Рис. 11. Курс двух движущихся кораблей друг относительно друга не меняется

Тогда ясно, что при неизменности ситуации, неизбежно столкновение (поскольку из равенства углов следует, что прямые, соединяющие корабли, параллельны друг другу, а значит, за равные промежутки времени они проходят одинаковые расстояния и должны сойтись в одной точке – вершине угла) (см. рис. 12).

Рис. 12. За равные промежутки времени корабли проходят одинаковые расстояния и должны сойтись в одной точке

Это можно использовать для предотвращения аварий в море. Ведь чем раньше капитаны кораблей узнают о вероятности столкновения, тем больше шансов его избежать.

В отличие от автомобилей большие грузовые суда имеют очень большой тормозной путь (т. к. сила сопротивления со стороны воды очень маленькая, а инертность из-за большой массы огромная). Так, у нефтяных танкеров тормозной путь может быть длиной несколько десятков километров.

---

 

 

Первый признак подобия треугольников

 

 

Итак, вернемся к вопросу о подобии. Для подобия двух треугольников по определению требуется равенство всех углов. Но мы знаем, что сумма углов любого треугольника . Значит, если два угла одного треугольника равны, соответственно, двум углам другого, то третьим углам деваться некуда, они тоже будут равны друг другу.

 

Посмотрим, хватит ли этого для подобия. Пусть два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника (см. рис. 13):

Рис. 13. У треугольников  и : ,

Как мы уже сказали, тогда третьи углы тоже равны друг другу:

Для подобия треугольников необходимо, чтобы отношения всех трех пар сторон были одинаковы.

Если стороны , то треугольники равны по второму признаку равенства (стороне и двум прилежащим углам). Равные треугольники, конечно, являются подобными с коэффициентом .

Рассмотрим случай неравных треугольников. Пусть основание первого меньше основания второго:

Отложим меньшее основание на большем:

Через  проведем отрезок, параллельный. Полученный треугольник  и  равны друг другу (ответьте почему) (см. рис. 14)

Рис. 14. Равные треугольники  и

Теперь нам и понадобится обобщенная теорема Фалеса. Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, поэтому:

Или, учитывая равенство треугольников  и :

Если мы теперь повторим такую же процедуру, только отложим отрезок, равный  от вершины , а через вершину  проведем отрезок, параллельный  (см. рис. 15), то аналогично получим:

Рис. 15. Равные треугольники  и

Отсюда:

Т. е. все три отношения равны. Треугольники подобны по определению.

Таким образом, мы получили первый признак подобия: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

Обратите внимание, что этот признак подобия похож на признак равенства треугольников по стороне и двум углам. А где же сторона в нашем признаке подобия? Само собой, равенство сторон нам не нужно. Но отношение двух сторон (сторон между этими углами) дает нам коэффициент подобия.

 

Второй признак подобия треугольников

 

 

Вспоминаем другой признак равенства – по двум сторонам и углу между ними. Есть ли аналогичный ему признак подобия треугольников? Попробуем его сформулировать.

 

Второй признак подобия: если один из углов одного треугольника равен одному из углов второго треугольника, а стороны треугольников, заключающие эти углы, пропорциональны, то треугольники подобны.

Доказательство

Пусть:

Опять отложим на большем основании  меньшее и проведем  параллельно . Полученные треугольники, внешний  и внутренний , подобны по первому признаку подобия – по двум углам (см. рис. 16):

1.  (общий);
2.  (соответственные углы при параллельных прямых).

Рис. 16. Подобные треугольники  и

Рассмотрим треугольники  и :  (по построению),  (по условию).Из подобия треугольников  и :

Или:

Но из условия:

Получаем:

Т. к. , то .

Тогда треугольники  и  равны по первому признаку равенства (две стороны и угол между ними). Значит, треугольник  также подобен треугольнику .

Признак доказан.

 

Третий признак подобия треугольников

 

 

Вы, наверное, уже догадались, как нужно поступить с третьим признаком равенства треугольников, чтобы получить третий признак подобия: заменить равенство на пропорциональность.

 

Третий признак подобия: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

Попробуйте доказать его самостоятельно, используя аналогичную схему доказательства. Ниже можете ознакомиться с ним.

---

 

Доказательство третьего признака подобия

 Третий признак подобия

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

Доказательство

Пусть:

Отложим на большем основании меньшее и проведем через  отрезок параллельно . Внешний  и внутренний  треугольники подобны по двум углам (первый признак подобия).

Рис. 17. Подобные треугольники  и

Осталось показать, что внутренний треугольник  равен исходному треугольнику . Но это совсем не сложно. Отношения соответственных сторон внешнего и внутреннего треугольников равны, потому что они подобны:

Аналогичные соотношения для исходных треугольников равны по условию:

Но т. к. , то первые дроби в обеих строчках равны. Т. е. все шесть дробей равны друг другу. Числители у соответственных дробей равны в первой и второй строке равны, значит, равны и знаменатели. Треугольники равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). А значит, исходные треугольники подобны.

Теорема доказана.

---

 

 

Высоты в подобных треугольниках

 

 

Мы доказали три признака подобия треугольников. На самом деле, каждый из них можно было взять за определение подобных треугольников (например, треугольники называются подобными, если у них равны 2 угла) и вывести из него оставшиеся признаки и наше нынешнее определение подобных треугольников.

 

Вернемся к выводу, который мы сделали о подобных треугольниках в начале урока, но строго его не доказали: сходственные элементы подобных треугольников (высоты, медианы, биссектрисы и т. д.) также пропорциональны с тем же коэффициентом , что и стороны этих треугольников. Докажем это на примере высот. Для остальных элементов попробуйте провести аналогичные рассуждения самостоятельно.

Проведем в подобных треугольниках  и  высоты  и  (см. рис. 18).

Рис. 18. В подобных треугольниках  и  проведены высоты  и

Рассмотрим треугольники  и . В них , а также  (т. к. подобны треугольники  и , а значит, их углы равны). Тогда, по двум углам, подобны треугольники  и . Значит, их стороны пропорциональны.

Как определить, какая из сторон первого треугольника пропорциональна данной стороне второго? По равным углам: пропорциональные стороны противолежат равным углам треугольников.

Получаем:

Но из подобия треугольников  и :

Значит:

Доказано.

 

Заключение

Итак, мы ввели понятие подобных треугольников, рассмотрели, как определить, что треугольники подобны (признаки подобия), а также сформулировали полезный вспомогательный факт – теорему Фалеса. На следующем уроке мы потренируемся решать задачи на эту тему.

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал ru.solverbook.com (Источник)
3. Интернет-портал fmclass.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Периметры подобных треугольников  и  соответственно равны  и  см. Найти длины сторон треугольника , если  см,  см.
2. Известно отношение площадей подобных треугольников: . Найти длину основания , если высота  см, а .
3. Прямая пересекает стороны  и  треугольника  в точках  и  соответсвенно. Доказать, что , если , .