Математика

Приведение к общему знаменателю дробей с численными знаменателями

 

Вспомним основные понятия, упомянутые в предыдущих уроках, которые пригодятся нам сегодня.

 

Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь – дробное выражение вида , где  многочлены.  – числитель,   – знаменатель.

Основное свойство алгебраической дроби – и числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или число, отличное от нуля.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Т.к. общим знаменателем дроби является , то и приведем эти обе дроби к знаменателю 12. Для этого знаменатель и числитель первой дроби умножим на 2, а первую дробь оставим без изменения.

.

Ответ.  и .

Пример 2. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение.  - это и будет общий знаменатель дробей. Чтобы его получить, числитель и знаменатель первой дроби умножим на 3, а второй дроби на 2.

; .

Ответ. и .

Как мы видим, в указанных примерах для приведения дробей к общему знаменателю необходимо было их умножить на определенные числа, их удобно называть дополнительные множители.

Определение.Дополнительный множитель – результат деления общего знаменателя на знаменатель соответствующей дроби. В школе обычно учат писать их над числителями соответствующих дробей, отделяя от них своеобразными «палочками» (см. рис. 1), это действительно удобно, и позволяет не забывать, на что следует домножить числитель дроби.

    

Рис. 1.

Далее мы уже рассмотрим примеры, когда в качестве дополнительных множителей будут выступать и числа, а буквенные выражения.

 

Приведение к общему знаменателю дробей с буквенными знаменателями

 

 

Пример 3. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

 

Решение. Знаменатель первой дроби  делится на знаменатель второй дроби , т.е. уже сам по себе является общим знаменателем для дробей. Следовательно, первую дробь мы оставим без изменений, а для второй дроби дополнительным множителем будет .

.

Ответ. и .

Пример 4. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Т.к. у знаменателей дробей нет общих множителей, то для нахождения общего знаменателя их следует просто перемножить. В таком случае дополнительным множителем для первой дроби будет знаменатель второй дроби, аналогично для второй дроби.

; .

Ответ. и .

На данном примере мы вспомнили удобное правило для нахождения общего знаменателя для дробей со знаменателями, не имеющими общих делителей. Это правило, как работало для случая обыкновенных дробей, так же работает для алгебраических и является универсальным для всех случаев нахождения общего знаменателя, даже, если у знаменателей есть общие делители. Просто в таком случае, применяя это правило, мы найдем не наименьший общий делитель, что не так оптимально для решения. Изобразить это правило нахождения общего знаменателя удобно с помощью рисунка 2.

  

Рис. 2.

Пример. 5. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Задача полностью аналогична предыдущей, только в качестве дополнительно множителя для первой дроби выступает уже многочлен , поэтому поступаем таким же образом.

; .

Ответ.  и.

Перейдем теперь к примерам, в которых для нахождения общего знаменателя необходимо будет знаменатели дробей раскладывать на множители.

Пример 6. Привести дроби  и  к общему знаменателю.

Решение. Рассматривая предыдущие примеры, мы могли убедиться в том, что для нахождения общего знаменателя у дробей удобно видеть на какие множители их знаменатели можно разложить. Если процедура разложения не проведена еще в условии задачи, то необходимо ее провести при решении. Это поможет нам находить дополнительные множители для дробей.

В нашем случае видно, что можно разложить на множители (вынести общий множитель) знаменатель второй дроби:

 . Мы провели сокращение и уже получили знаменатель такой же, как и у первой дроби. Следовательно, задача уже решена.

 

Ответ. и .

Как мы видим, для нахождения общего знаменателя полезны простейшие действия, такие как разложение на множители, сокращение и все остальные арифметические действия, кстати, тоже. Т.е. до проведения дополнительных процедур по приведению дробей к общему знаменателю следует их сначала просто упростить, если это возможно.

 

Приведение к общему знаменателю трех дробей с использованием разложения на множители

 

 

Рассмотрим теперь аналогичные примеры, но уже с тремя дробями.

 

Пример. 7. Привести дроби ,  и  к общему знаменателю.

Решение. У знаменателей каждой из дробей присутствует численный коэффициент, наименьшим общим кратным для чисел 2, 4 и 6 является число 12. Буквенные множители знаменателей, в свою очередь, являются делителями выражения . Следовательно, наименьшим общим знаменателем дробей будет . Дополнительные множители для числителей дробей находим, как и ранее: для первой дроби , для второй  , для третьей .

; ; .

Ответ.,  и .

Пример 8. Привести дроби ,  и  к общему знаменателю.

Решение. Знаменатель первой дроби можно разложить на множители . Мы видим, что он уже содержит в себе знаменатели двух других дробей в виде множителей, следовательно, для первой дроби знаменатель менять не нужно, а для двух других найдем дополнительные множители: вторая дробь , третья дробь .

; .

Ответ. ,  и .

Пример 9. Привести дроби ,  и  к общему знаменателю.

Решение. Очевидно, что основной частью метода приведения к общему знаменателю здесь будет разложение на множители для дальнейшего поиска дополнительным множителей. Разложим первый знаменатель методом группировки множителей:

.

Второй и третий знаменатели раскладываются с вынесением общего множителя, причем, проделаем это таким образом, чтобы получить в качестве множителей выражения соответствующие множителям первого знаменателя, чтобы проще находить затем дополнительные множители.

; .

Общий знаменатель дробей должен содержать все различные множители, которые мы нашли, т.е. будет равен:

Дополнительные множители: первая дробь , вторая дробь , третья дробь .

; ; .

Ответ. ,  и .

 

 

Пример на вычитание дробей с одинаковым знаменателем

 

 

Основное внимание на уроке мы уделили сложным случаям нахождения общих знаменателей у дробей. В дальнейшем это умение пригодится для проведения простейших операций с дробями, таких как сложение и вычитание. Рассмотрим один такой пример.

 

Пример 10. Найдите значение выражения  при .

Решение. В подобных примерах подстановка числового значения в исходное выражение не является рациональной, сначала следует проделать все возможные операции в буквенном виде, т.е. упростить выражение, а уже затем подставлять числа. В данном случае необходимо вычесть дроби, они уже с одинаковыми знаменателями, поэтому поступаем, как и в случае обыкновенных дробей.

Сокращение дроби на множитель  мы имеем полное право проводить, т.к. значение подставляемой в дальнейшем переменной не входит в область недопустимых значений (см. урок №1). Недопустимым значением переменной в данном случае является: .

Ответ:  .

На следующих уроках мы более подробно рассмотрим технику сложения и вычитания алгебраических дробей и убедимся, что она аналогична методам работы с обыкновенными дробями.

 

Список рекомендованной литературы.

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
3. Никольский С.М., Потапом М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Интернет портал «ru.onlinemschool.com» (Источник)
2. Интернет портал «www.berdov.com» (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание.

1. № 48 (в-и), 202, 203. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Привести к общему знаменателю дроби   и  .
3. Привести к общему знаменателю дроби    и  .
4. Привести к общему знаменателю дроби  ,    и  .