Математика

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями

 

Чтобы складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями, проведём аналогию с обыкновенными дробями и перенесём её на алгебраические дроби.

 

 Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.

Пример 1. Сложить дроби: .

Решение:

Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.

Определение

 – наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа  и .

Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.

; . Тогда в НОК чисел  должны входить две двойки и две тройки: .

После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).

.

Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.

Получаем: .

Ответ:.

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

 

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

 

 

Пример 2. Сложить дроби: .

 

Решение:

Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей:  и дополнительные множители для каждой из них.

.

Ответ:.

Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).

3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

Пример 3. Сложить дроби: .

Решение:

Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел . Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: . Таким образом, решение данного примера имеет вид:.

Ответ:.

Пример 4. Вычесть дроби: .

Решение:

Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.

.

Ответ:.

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

 

Пример вычитания алгебраических дробей с разложением знаменателя на множители

 

 

Рассмотрим более сложный пример.

 

Пример 5. Упростить: .

Решение:

При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).

В данном конкретном случае:

;

.

Тогда легко определить общий знаменатель: .

Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:

.

Ответ:.

 

Примеры на закрепление правил сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями

 

 

Теперь закрепим правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями.

 

Пример 6. Упростить: .

Решение:

Ответ:.

Пример 7. Упростить: .

Решение:

.

Ответ:.

 

Пример сложения трёх алгебраических дробей с разными знаменателями

 

 

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

 

Пример 8. Упростить: .

Решение:

.

Ответ:.

 

Пример вычитания алгебраических дробей с предварительным сокращением

 

 

Теперь рассмотрим пример, в котором необходимо сначала сократить дроби, а затем уже их складывать (вычитать).

 

Пример 9. Упростить: .

Решение:

Рассмотрим первую дробь:

. При этом следует указать, что .

Проведём аналогичные преобразования со второй дробью:

 . При этом следует указать, что .

Таким образом, получаем следующее преобразование:

Ответ:.

 На данном уроке мы рассмотрели правила сложения и вычитания дробей с разными знаменателями, а также решили типовые несложные задачи с использованием этих правил. В дальнейшем мы рассмотрим более сложные примеры задач на эти правила.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
2. Учеба-Легко (Источник).

 

Домашнее задание

1. №№48–51, 53, 54. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Упростить выражение: а) , б) , в) .
3. Вычислить значение выражения  при .
4. Упростить выражение .