Математика

Правила возведения дробей и целых выражений в натуральную степень с элементарными примерами

 

Правило возведения обыкновенных и алгебраических дробей в натуральную степень:

 

Можно провести аналогию со степенью целого выражения и вспомнить, что понимается под возведением его в степень:

Пример 1. .

Как видно из примера, возведение дроби в степень – это частный случай умножения дробей, что изучалось на предыдущем уроке.

Пример 2. а) , б) – минус уходит, т. к. мы возвели выражение в четную степень.

Ответ. ; .

Для удобства работы со степенями вспомним основные правила возведения в натуральную степень:

 – произведение степеней;

 – деление степеней;

 – возведение степени в степень;

 – степень произведения.

Пример 3.  – это известно нам еще с темы «Возведение в степень целых выражений», кроме одного случая:  не существует.

 

Простейшие примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень

 

 

Далее рассмотрим примеры посложнее.

 

Пример 4. Возвести дробь в степень .

Решение. При возведении в четную степень минус уходит:

.

Ответ. .

Пример 5. Возвести дробь в степень .

Решение. Теперь пользуемся правилами возведения степени в степень сразу без отдельного расписывания:

.

Ответ..

Теперь рассмотрим комбинированные задачи, в которых нам будет необходимо и возводить дроби в степень, и умножать их, и делить.

Пример 6. Выполнить действия .

Решение. . Далее необходимо произвести сокращение. Распишем один раз подробно, как мы это будем делать, а затем будем указывать результат сразу по аналогии: . Аналогично (или по правилу деления степеней) . Имеем: .

Ответ. .

Пример 7. Выполнить действия .

Решение. . Сокращение осуществлено по аналогии с примером, разобранным ранее.

Ответ. .

Пример 8. Выполнить действия .

Решение. . В данном примере мы еще раз более подробно расписали процесс сокращения степеней в дробях, чтобы закрепить этот способ.

Ответ. .

 

Более сложные примеры на возведение алгебраических дробей в натуральную степень (с учетом знаков и со слагаемыми в скобках)

 

 

Пример 9. Выполнить действия .

 

Решение. В данном примере уже пропустим отдельное умножение дробей, а сразу воспользуемся правилом их умножения и запишем под один знаменатель. При этом следим за знаками – в указанном случае дроби возводятся в четные степени, поэтому минусы исчезают. В конце выполним сокращение.

.

Ответ..

Пример 10. Выполнить действия .

Решение. В данном примере присутствует деление дробей, вспомним, что при этом первая дробь умножается на вторую, но перевернутую.

 .

Ответ. .

На данном уроке мы рассмотрели возведение дробей в натуральную степень. В дальнейшем умение это делать и осуществлять действия с дробями, изученными ранее, мы будем использовать для преобразования рациональных выражений.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал для всей семьи(Источник).

2. Старая школа (Источник).

 

 

Домашнее задание

1. №76. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Возвести дроби в степень: а) , б) .

3. Возвести дроби в степень: а) , б) .

4. Возвести дроби в степень: а) , б) .

5. Выполнить действия: а) , б) .