Математика

Неоднозначное задание четырехугольника

 

Треугольник однозначно определяется своими сторонами. Т. е., зная 3 стороны треугольника, можно найти его углы, площадь и т. д. С четырехугольником уже не так. С одним и тем же набором сторон можно составить различные четырехугольники (см. рис. 1).

 

Рис. 1. С одним и тем же набором сторон можно составить различные четырехугольники

Если взять два треугольника, то даже из них можно составить разные четырехугольники (см. рис. 2).

Рис. 2. Из двух треугольников можно составить разные четырехугольники

Поэтому для произвольного четырехугольника мы сможем вывести не так много свойств. В основном мы будем подробно изучать некоторые виды четырехугольников (например, с равными сторонами и/или углами и т. д.). Но пока поговорим о том, что же все-таки можно сказать про произвольный четырехугольник.

Любой четырехугольник разбивается на треугольники (см. рис. 3).

Рис. 3. Любой четырехугольник разбивается на треугольники

Это позволяет нам использовать все изученные свойства треугольников для четырехугольников. Но понятно, что фигуры это все-таки разные. Поговорим об этих различиях. Кроме очевидного отличия: три стороны и три вершины у треугольника, четыре стороны и четыре вершины у четырехугольника – чем еще они отличаются принципиально?

Очень важное различие, о котором знает каждый плотник, состоит в том, что треугольник – «жесткая» фигура, а четырехугольник (как и все остальные многоугольники) – «нежесткая».

У треугольника невозможно изменить его форму, не изменив длин сторон. При этом у любого четырехугольника можно изменить его форму, не меняя длины сторон. На практике это будет означать, что треугольник, сколоченный из трех дощечек, будет жестким, не будет сминаться даже при сильных воздействиях, а четырехугольник при достаточной нагрузке со стороны изменит свою форму (см. рис. 4).

Рис. 4. Сколоченный из трех дощечек треугольник не сминается даже при сильных воздействиях, а четырехугольник при достаточной нагрузке со стороны изменит свою форму

В частности, поэтому на табуретках иногда добавляют дощечки, чтобы образовались треугольники (см. рис. 5).

Рис. 5. Иногда на табуретках добавляют дощечки, чтобы образовались треугольники

Жесткость треугольника определяется третьим признаком равенства треугольника: по трем сторонам (если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны) (см. рис. 6).

Рис. 6. Треугольник строится однозначно по трем сторонам

Очевидно, у четырехугольника такой аналог отсутствует – мы уже говорили, что четыре стороны однозначно не задают четырехугольник (см. рис. 7).

Рис. 7. Четыре стороны не задают четырехугольник однозначно

 

Диагонали четырехугольника

 

 

Другое важное отличие: у треугольника все вершины являются соседними, а у четырехугольника есть противоположные вершины, соединяя которые мы получаем новые элементы – диагонали (их у четырехугольника будет 2) (см. рис. 8). Понятно, что диагонали есть и у остальных многоугольников с большим количеством вершин.

 

Рис. 8. Диагонали четырехугольника

---

 

Количество диагоналей многоугольника

У четырехугольника 2 диагонали. А сколько диагоналей у -угольника? Давайте посчитаем: рассмотрим произвольную вершину -угольника. Она будет соединена диагоналями со всеми остальными вершинами, кроме самой себя и двух соседних (с которыми она соединена сторонами) (см. рис. 9).

Рис. 9. Произвольная вершина -угольника соединена диагоналями со всеми остальными вершинами, кроме самой себя и двух соседних

Т. е. из каждой вершины можно провести  диагонали (см. рис. 10).

Рис. 10. Из каждой вершины -угольника можно провести  диагонали

Получаем:  диагоналей. Но каждую диагональ мы посчитали дважды (для каждой из двух вершин, которые она соединяет). Поэтому получаем:  диагоналей.

Например, в шестиугольнике  диагоналей, в треугольнике  диагоналей, в четырехугольнике   диагонали и т. д.

---

  

 

Выпуклость четырехугольника

 

 

Существенное отличие четырехугольника от треугольника в том, что он может быть выпуклым или невыпуклым (см. рис. 11).

 

Рис. 11. Слева направо: выпуклый и невыпуклый четырехугольники

Что такое выпуклость? Интуитивно понятно. Строгое определение выпуклого многоугольника: если взять любую сторону многоугольника и рассмотреть прямую, которая ее содержит, то выпуклый многоугольник будет всегда лежать по одну сторону от этой прямой (см. рис. 12).

Рис. 12. Выпуклый многоугольник (слева) будет всегда лежать по одну сторону от прямой, содержащую его сторону, а невыпуклый – нет

В основном в дальнейшем мы будем рассматривать выпуклые четырехугольники. Почему? Попробуйте найти вокруг себя невыпуклые четырехугольники (или любые другие невыпуклые многоугольники). Конечно, выпуклые встречаются намного чаще.

 

Сумма углов четырехугольника

 

 

Одним из первых и важных свойств треугольника, которое мы получили, было то, что сумма его углов постоянна. Можно ли сказать то же самое про четырехугольник? Вспомним, что любой четырехугольник состоит из двух треугольников (достаточно провести диагональ). Но сумма углов каждого из них одинакова и равна , значит, сумма углов четырехугольника  (см. рис. 13).

 

Рис. 13. Сумма углов четырехугольника равна

Мы рассмотрели выпуклый четырехугольник. Самостоятельно начертите невыпуклый многоугольник и убедитесь, что для него результат будет таким же.

---

 

Сумма углов многоугольника

У любого треугольника сумма углов равна , у любого четырехугольника – . А что можно сказать про n-угольник? Посчитаем.

Рассмотрим произвольную вершину n-угольника и проведем из нее все диагонали. Мы знаем, что их будет . А, значит, наш n-угольник ими разобьется на  треугольника.

Сумма углов каждого из них равна , поэтому сумма углов n-угольника равна:

Мы провели доказательство для выпуклого многоугольника, его несложно уточнить и для невыпуклого. Если подставить : получим  (у треугольника), а если :  у четырехугольника и т. д.

---

 

 

Трапеция и параллелограмм

 

 

Как мы уже сказали, основное внимание мы будем уделять не произвольным четырехугольникам, а некоторым «специальным», которые обладают особыми свойствами.

 

Треугольник мы рассматривали как фигуру, которая образуется на пересечении трех прямых на плоскости. Четырехугольник образуется четырьмя прямыми, и, в отличие от треугольника, некоторые из них могут быть параллельными (противоположные стороны).

Если у четырехугольника две стороны параллельны, то он называется трапецией (обычно подчеркивают, что две другие при этом непараллельны, чтобы отделить трапецию от параллелограмма) (см. рис. 14). И изучением ее свойств мы займемся на следующем уроке.

Рис. 14. Трапеция , где ,

А вот если у четырехугольника обе пары противоположных сторон параллельны, то он называется параллелограммом (см. рис. 15).

Рис. 15. Параллелограмм , где ,

Займемся изучением его свойств, а также частными случаями параллелограмма – прямоугольником, ромбом и квадратом (см. рис. 16).

Рис. 16. Частные случаи параллелограмма – прямоугольник, ромб и квадрат

 

Свойства параллелограмма

 

 

Итак, определение: четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Посмотрим, какие свойства параллелограмма следуют из его определения.

 

Сразу можно сказать, что сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна , т. к. это внутренние односторонние углы при параллельных прямых (см. рис. 17).

Рис. 17. В параллелограмме :

Проведем в параллелограмме диагональ. Она разбивает его на два треугольника.

, а углы  и  являются внутренними накрест лежащими. Значит, они равны друг другу: . Аналогично:  (см. рис. 18).

Рис. 18. В параллелограмме : ,

Сторона  является общей для двух треугольников. Но тогда эти треугольники равны по второму признаку равенства (двум углам и стороне).

Таким образом, мы получили, что диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Т. к. треугольники равны, то:

Точно так же равны и пары углов:

Итак, можем сформулировать полученные выводы в виде теоремы.

Теорема 1

В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны (см. рис. 19).

Рис. 19. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Про точку их пересечения ничего определенного сказать нельзя, кроме того, что она лежит внутри четырехугольника.

Проведем теперь обе диагонали в параллелограмме. Похоже, что точка пересечения делит обе диагонали пополам. Проверим, так ли это.

Как противоположные стороны параллелограмма:

Как внутренние накрест лежащие равны пары углов:

Следовательно, треугольник  равен треугольнику  (см. рис. 20), откуда:

Рис. 20. Треугольники  и  равны

 

Т. е. наше предположение оказалось верным.

Теорема 2

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам (см. рис. 21).

Рис. 21. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам

Итак, суммируем: противоположные стороны параллелограмма параллельны по определению.

И в дополнение к этому мы доказали следующие свойства параллелограмма:

1. противоположные стороны равны;
2. противоположные углы равны;
3. диагонали точкой пересечения делятся пополам.

 

Признаки параллелограмма

 

 

Две теоремы, которые мы доказали, являются свойствами или необходимыми признаками параллелограмма. Достаточные признаки работают в другую сторону, по ним можно однозначно распознать параллелограмм среди других четырехугольников.

 

Далеко ходить не надо: оказывается, наши только что доказанные свойства работают в обратную сторону. Итак, сформулируем три основных признака параллелограмма (можете самостоятельно попробовать сформулировать и другие – например, через равенство противоположных углов).

Признак 1

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике  (см. рис. 22):

Рис. 22. В четырехугольнике : ,

Что нам мешает уже сейчас назвать этот четырехугольник параллелограммом? У нас только одна пара параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Проведем диагональ. Два полученных треугольника равны по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними) (см. рис. 23):

1.  – общая сторона;
2.  (по условию);
3.  (как внутренние накрест лежащие для параллельных прямых).

Рис. 23. Равные треугольники  и

Из равенства треугольников также следует:

Но они тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых  и . А это уже признак параллельности прямых. Значит,  и  – параллелограмм (по определению).

Доказано.

Признак 2

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике  (см. рис. 24):

Рис. 24. В четырехугольнике : ,

Докажите этот признак самостоятельно по точно такой же схеме, как и предыдущая, – проведите диагональ, воспользуйтесь признаком равенства треугольников по трем сторонам, а затем – признаком параллельности прямых.

Доказано.

Признак 3

Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Если диагонали четырехугольника  точкой  делятся пополам, то треугольник  равен треугольнику  по двум сторонам и углу между ними (см. рис. 25):

1. ;
2. ;
3. углы между ними равны как вертикальные.

Рис. 25. Равные треугольники  и

Раз треугольники равны, то стороны . Кроме того, эти стороны параллельны, потому как накрест лежащие углы . Тогда  является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали чуть раньше.

Доказано.

Итак, мы получили основные свойства параллелограмма, а также признаки (т. е. то, что однозначно выделяет параллелограмм из других четырехугольников). Поскольку они совпали, то их можно рассматривать в качестве эквивалентных определений параллелограмма. Например, параллелограмм – это четырехугольник, у которого диагонали точной пересечения делятся пополам. Но исторически сложилось (и по названию это понятно), что в основу определения легла именно параллельность противоположных сторон.

 

Площадь параллелограмма

 

 

Одна из важных характеристик любой фигуры на плоскости – площадь, которую она занимает. Найдем площадь параллелограмма, используя то, что он разбивается диагональю на два равных треугольника.

 

Проведем в параллелограмме высоту  к основанию  (см. рис. 26) (из любой вершины параллелограмма можно провести две высоты – к двум сторонам) (см. рис. 27).

Рис. 26. В параллелограмме  проведена высота  к стороне

Рис. 27. Из любой вершины параллелограмма можно провести две высоты – к двум сторонам

Площадь треугольника равна:

Площадь  параллелограмма  равна удвоенной площади  треугольника :

Итак, площадь параллелограмма равна произведению длины его высоты на длину основания, к которому эта высота проведена:

С другой стороны, мы могли бы сказать, что площадь  треугольника  равна:

Поэтому площадь  параллелограмма  также можно вычислять по следующей формуле:

Т. е. площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними (см. рис. 28):

Рис. 28. Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними

Формула для вычисления площади не только параллелограмма, но и любого четырехугольника:

где  и  – длины диагоналей, а  – угол между ними (см. рис. 29).

Рис. 29. Площадь произвольного четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними

С выводом данной формулы вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Еще одна формула площади параллелограмма

Мы получили формулы для вычисления площади параллелограмма через длины высоты и стороны, через длины сторон и угол между ними. А можно ли найти площадь параллелограмма, зная его диагонали? Оказывается, можно (если знать еще и угол между ними), причем не только параллелограмма, но и произвольного четырехугольника.

Рассмотрим произвольный четырехугольник , проведем в нем диагонали  и , которые пересекутся в точке  (см. рис. 30).

Рис. 30. Произвольный четырехугольник  с проведенными диагоналями  и , которые пересекаются в точке

Введем обозначения (см. рис. 31):

Рис. 31. Введенные обозначения

Тогда площадь четырехугольника  равна сумме площадей четырех треугольников , , , :

Вспомним, что синусы смежных углов равны (см. урок Тригонометрические функции произвольных углов. Теоремы синусов и косинусов):

Тогда получаем:

Перегруппируем слагаемые:

Т. к. , , т. е. , то:

Перегруппируем слагаемые:

Т. к. , , т. е. , то:

Если обозначить длины диагоналей  и , то получим формулу площади произвольного четырехугольника – полупроизведение диагоналей на синус угла между ними:

Понятно, что эту формулу можно использовать и для нахождения площади параллелограмма, т. к. он является четырехугольником.

---

 

 

Прямоугольник

 

 

Итак, мы рассмотрели свойства четырехугольника, у которого противоположные стороны параллельны (и, как мы выяснили, равны). Для треугольников мы рассматривали частные случаи, когда были равны стороны и углы. Конечно, существует много случаев равенства двух или даже трех сторон или углов. Но далеко не все такие четырехугольники представляют интерес для изучения (хотя бы потому, что редко встречаются на практике).

 

Поэтому рассмотрим только самые частные случаи – четырехугольники с равными углами и четырехугольники с равными сторонами (сразу обратите внимание, что это могут быть разные четырехугольники – и это еще одно отличие от треугольников, где мог быть только один такой – равносторонний).

Начнем с углов. Т. к. сумма углов четырехугольника равна , то равенство возможно только в том случае, если все углы прямые.

Четырехугольник, у которого все углы прямые, называется прямоугольником (см. рис. 32). Т. к. две противоположные стороны перпендикулярны третьей, то эти стороны параллельны друг другу.

Рис. 32. Прямоугольник

Но тогда любой прямоугольник является параллелограммом (прямоугольник – частный случай параллелограмма). Или так: множество прямоугольников – это подмножество параллелограммов (см. рис. 33). Раз он параллелограмм, то для него выполняются и все свойства параллелограмма (а признаки нет, подумайте, почему).

Рис. 33. Множество прямоугольников – это подмножество параллелограммов

Например, противоположные стороны у прямоугольника равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам (см. рис. 34).

Рис. 34. Противоположные стороны у прямоугольника равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам

Наследование свойств очень приятная вещь. Но больший интерес представляют исключительные свойства – те, которыми обладают прямоугольники, но еще не обладали параллелограммы.

Легко заметить, что диагонали прямоугольника равны друг другу. Доказать этот факт совсем несложно. Попробуйте это сделать самостоятельно, а проверить себя ниже.

---

 

Доказательство

Докажем, что диагонали  и  прямоугольника  равны. Рассмотрим два треугольника –  и  (см. рис. 35):

1.         ;

---

Изученные нами свойства четырехугольников и, в частности, параллелограммов – это новые инструменты, которые мы в скором времени активно потренируемся применять на практике.

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал ru.onlinemschool.com (Источник)
2. Интернет-портал math4school.ru (Источник)
3. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Один из углов параллелограмма на 60° меньше другого. Найти углы параллелограмма.
2. Найти стороны прямоугольника, если его площадь равна 65, а периметр равен 36.
3. Доказать, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.