Математика

Симметрия точек относительно прямой

 

Данный урок посвящён осевой и центральной симметрии.

 

Определение

Две точки  и  называются симметричными относительно прямой , если:

1.      прямая  проходит через середину отрезка ;

2.      прямая  перпендикулярна отрезку.

На Рис. 1 изображены примеры симметричных относительно прямой  точек  и ,  и .

Рис. 1

Отметим также тот факт, что любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой.

Симметричными относительно прямой могут быть и фигуры.

Сформулируем строгое определение.

 

Осевая симметрия, примеры

 

 

Определение

 

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно этой прямой точка также принадлежит фигуре. В этом случае прямая  называется осью симметрии. Фигура при этом обладает осевой симметрией.

Рассмотрим несколько примеров фигур, обладающих осевой симметрией, и их оси симметрии.

Пример 1

Угол обладает осевой симметрией. Осью симметрии угла является биссектриса. Действительно: опустим из любой точки угла перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до пересечения с другой стороной угла (см. Рис. 2).

Рис. 2

 (так как  – общая сторона,  (свойство биссектрисы), а треугольники – прямоугольные). Значит, . Поэтому точки  и  симметричны относительно биссектрисы угла.

Из этого следует, что и равнобедренный треугольник обладает осевой симметрии относительно биссектрисы (высоты, медианы), проведённой к снованию.

Пример 2

Равносторонний треугольник обладает тремя осями симметрии (биссектрисы/медианы/высоты каждого из трёх углов (см. Рис. 3).

Рис. 3

Пример 3

Прямоугольник обладает двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через середины двух его противоположных сторон (см. Рис. 4).

Рис. 4

Пример 4

Ромб также обладает двумя осями симметрии: прямые, которые содержат его диагонали (см. Рис. 5).

Рис. 5

Пример 5

Квадрат, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником, обладает 4 осями симметрии (см. Рис. 6).

Рис. 6

Пример 6

У окружности осью симметрии является любая прямая, проходящая через её центр (то есть содержащая диаметр окружности). Поэтому окружность имеет бесконечно много осей симметрии (см. Рис. 7).

Рис. 7

 

Центральная симметрия, примеры

 

 

Рассмотрим теперь понятие центральной симметрии.

 

Определение

Точки  и  называются симметричными относительно точки , если:  – середина отрезка .

Рассмотрим несколько примеров: на Рис. 8 изображены точки  и , а также  и , которые являются симметричными относительно точки , а точки  и  не являются симметричными относительно этой точки.

Рис. 8

Некоторые  фигуры являются симметричными относительно некоторой точки. Сформулируем строгое определение.

Определение

Фигура называется симметричной относительно точки , если для любой точки фигуры точка, симметричная ей, также принадлежит данной фигуре. Точка  называется центром симметрии, а фигура обладает центральной симметрией.

Рассмотрим примеры фигур, обладающих центральной симметрией.

Пример 7

У окружности центром симметрии является центр окружности (это легко доказать, вспомнив свойства диаметра и радиуса окружности) (см. Рис. 9).

Рис. 9

Пример 8

У параллелограмма центром симметрии является точка пересечения диагоналей (см. Рис. 10). 

Рис. 10

 

Решение задач

 

 

Решим несколько задач на осевую и центральную симметрию.

 

Задача 1.

Сколько осей симметрии имеет отрезок ?

Решение:

Отрезок имеет две оси симметрии. Первая из них – это прямая, содержащая отрезок (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой). Вторая – серединный перпендикуляр к отрезку, то есть прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.

Ответ: 2 оси симметрии.

Задача 2.

Сколько осей симметрии имеет прямая ?

Решение:

Прямая имеет бесконечно много осей симметрии. Одна из них – это сама прямая (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой). А также осями симметрии являются любые прямые, перпендикулярные данной прямой.

Ответ: бесконечно много осей симметрии.

Задача 3.

Сколько осей симметрии имеет луч ?

Решение:

Луч имеет одну ось симметрии, которая совпадает с прямой, содержащей луч (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой).

Ответ: одна ось симметрии.

Задача 4.

Доказать, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Доказательство:

Рассмотрим ромб . Докажем, к примеру, что прямая  является его осью симметрии. Очевидно, что точки  и  являются симметричными сами себе, так как лежат на этой прямой. Кроме того, точки  и  симметричны относительно этой прямой, так как . Выберем теперь произвольную точку  и докажем, что симметричная ей относительно  точка также принадлежит ромбу (см. Рис. 11).

Рис. 11

Проведём через точку  перпендикуляр к прямой  и продлим его до пересечения с . Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники прямоугольные (по построению), кроме того, в них:  – общий катет, а  (так как диагонали ромба являются его биссектрисами). Значит, эти треугольники равны: . Значит, равны и все их соответствующие элементы, поэтому: . Из равенства этих отрезков следует то, что точки  и  являются симметричными относительно прямой . Это означает, что  является осью симметрии ромба. Аналогично можно доказать этот факт и для второй диагонали.

Доказано.

Задача 5.

Доказать, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм . Докажем, что точка  является его центром симметрии. Очевидно, что точки  и ,  и  являются попарно симметричными относительно точки , так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Выберем теперь произвольную точку  и докажем, что симметричная ей относительно  точка также принадлежит параллелограмму (см. Рис. 12).

Рис. 12

Соединим точку  с точкой  и продлим линию до пересечения с противоположной стороной. Рассмотрим треугольники  и . Эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (сторона и два угла). Действительно:  (так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам),  (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых),  (как вертикальные углы). Значит, эти треугольники равны: . Значит, равны и все их соответствующие элементы, поэтому: . Из равенства этих отрезков следует то, что точки  и  являются симметричными относительно точки . Это означает, что  является центром симметрии параллелограмма.

Доказано.

На этом уроке мы заканчиваем изучение темы «виды четырёхугольников» (параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат). Мы рассмотрели осевую и центральную симметрию и её примеры для различных геометрических фигур. Кроме того, были решены несколько задач на эту тему.

На следующих уроках мы перейдём к изучению новой темы: «Площадь».

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических наук "Открытый урок" (Источник).
2. Docme.ru (Источник).
3. Ikt.oblcit.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. № 59, 60. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
2. Дан угол  и точка , которая лежит внутри него. Построить угол, симметричный углу  относительно точки .
3. Постройте окружность радиусом . Проведите прямую, которая не проходит через центр окружности. Постройте окружность, симметричную данной относительно этой прямой.