Математика

Введение

 

Для начала вспомним те числа, которые мы знаем:

 

1. N – натуральные числа (числа для счета предметов окружающего мира)  

N =

Если мы сложим два натуральных числа, то снова получим натуральное число. Например, n₁ + n₂ = n ∈ N    3 + 7 = 10

Вычитание может вывести нас за пределы натуральных чисел.

3 – 3 = 0 ∉ N

3 – 7 = -4 ∉ N

2. Число 0 – характеристика специфического, пустого множества.

Например, мама дала сыну 200 р., все были истрачены. В кармане осталось 0 р.

Введение числа 0 – важное событие в математике. В переводе с латыни ноль – значит «никакой». При решении уравнений мы пытаемся разложить их на множители и приравнять их к нулю. К примеру,

3. Z – целые числа (натуральные числа, отрицательные, ноль) Z =

Множество натуральных чисел входит в множество целых чисел:

N ⊂ Z

Произведение любых целых чисел будет целым числом.

Но операция деления уже может вывести нас за пределы целых чисел. Например,

 = 3 ∈ Z

 ∉ Z

 

Рациональные числа

 

 

Q – рациональные числа (множество целых чисел + дроби)

 

Q =

N ⊂ Z ⊂ Q

Дробь вида может быть сократимой или несократимой. Например,

Дробь несократима, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя есть 1 (НОД (m; n) = 1).

Преимущество несократимых дробей в том, что они имеют единственную форму записи.  – это несократимая форма записи.

Итак, можно считать, что множество рациональных чисел – это множество всех несократимых дробей. Тогда запись этого множества такова:

Q =

Каждую дробь  можно представить в следующем виде:

            0,50000… = 0,5(0)

 = 0,3333….= 0,(3)

     В соответствии с этим, множество рациональных чисел можно определить как множество всех десятичных, но периодических дробей.

Важен переход от обычных дробей к десятичным. Десятичную дробь можно получить обычным делением в столбик. Например,  (рис. 1).

Рис. 1. Деление в столбик, получение десятичной дроби

Рассмотрим десятичную дробь с периодом 9. Например 2,199…2,1(9).

Это число можно представить по-иному. Пусть  = 2,199999…. Умножим его на 10, тогда получим 10 = 21,9999…. Вычитаем одно из другого и получим:

9 = 19,8

Вывод: если мы имеем число с периодом 9, то его можно представить иначе ().

Такая запись дает нам возможность получить однозначность записи вместо числа с периодом.

Как мы можем записать множество рациональных чисел?

Мы можем записать множество рациональных чисел как множество несократимых дробей  либо как множество десятичных дробей, конечных или периодических.

 

Свойства множества Q

 

 

Важной особенностью множества Q рациональных чисел является их замкнутость относительно операций:

 

- сложения;

- вычитания;

- умножения;

- деления (не на ноль);

- возведения в натуральную степень.

В результате этих операций с рациональными числами мы снова получаем рациональное число.

 

Примеры

 

 

 

Однако извлечение корня выводит нас за пределы множества рациональных чисел. Например, . Благодаря ему, мы узнаем, что такое иррациональные числа, которые мы будем рассматривать далее.  – иррациональное число.

Рациональные числа довольно густо заселяют числовую прямую, но не заполняют её сплошь, оставляя места для иррациональных чисел.

Пример. Убедимся, что между  и  существует бесконечное множество рациональных чисел на числовой прямой.

  и , а между ними лежит их среднее арифметическое . Между  и  лежит их среднее арифметическое, и так далее.

Натуральные числа расположены довольно редко на числовой прямой, однако, в некотором смысле, натуральных чисел столько же, сколько и рациональных чисел.

 

Вывод

 

 

Итак, мы рассмотрели множество рациональных чисел.

 

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006. 

 

Домашнее задание

1. № 9.20, 9.23, 9.26 стр. 56. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Ru.wikipedia.org (Источник).
2. Интернет-портал School-assistant.ru (Источник).
3. Интернет-портал Fxyz.ru (Источник).