Математика

Повторение, квадратный корень

 

Квадратным корнем из неотрицательного числа  называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен . Это число обозначают , число  называют подкоренным числом.

 

 

 

Примеры:

1.  (, )

2.  (, )

 

Обратите внимание:

 , но  – корень не может быть равен отрицательному числу.

 – нельзя вычислить. Корня квадратного из отрицательного числа не существует.

 

Функция

 

 

Функцией , где , называется закон, который каждому неотрицательному числу  сопоставляет число .

 

 

 

Функция  нам уже известна. Это функция типа . Таким образом, изучать функцию  мы будем на базе функции , где .

 

График функции

 

 

Графиком функции  является ветвь параболы. Проверим это, составив таблицу.

 

 

Построим найденные точки на координатной плоскости (см. Рис. 1).

 

Рис. 1. График функции

Прочтем график:

Если аргумент возрастает от 0 до , функция возрастает от 0 до .

 

Свойства функции

 

 

1. Множество значений функции  – это луч .

 

Докажем это свойство

 

Доказательство

Пусть  – это произвольное число из промежутка . Найдется ли такое , при котором ? Чтобы узнать это, решим уравнение:

 

 

 

 

Число  достигается, когда аргумент равен  (см. Рис. 2).

 

Рис. 2. Иллюстрация к доказательству

Следовательно:

 

 

 

Что и требовалось доказать.

 

Следствия из данного свойства

а) Функция  не ограничена сверху. То есть на оси  для этой функции нет самого большого положительного числа.

б) Функция ограничена снизу и имеет наименьшее значение.

 

 

 

в)  при всех .

 

2. Функция  монотонно возрастает на всей области определения, то есть при .

 

 Примечание:

Функция называется монотонно возрастающей на всей области определения, если для любых  и , принадлежащих области определения, из неравенства  следует неравенство .

Рисунок 3 иллюстрирует нам, что функция  является монотонно возрастающей.

 

Рис. 3. Функция  монотонно возрастающая

3. Функция  выпукла вверх на всей области определения.

 

Для любых двух точек, например  и  (см. Рис. 4), дуга, лежащая между этими точками, будет находиться над отрезком, соединяющим эти две точки, следовательно, функция выпуклая вверх.

 

Рис. 4. Функция  выпуклая вверх

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2010.

4. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2010.

 

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Гипермаркет знаний» (Источник)

2. Интернет портал «FizMat» (Источник)

3. Видеохостинг «YouTube» (Источник)

4. Интернет портал «UzTest» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Упражнения 487, 488, 494 (стр. 146) – Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е. Алгебра 8 класс

2. Пересекает ли график функции  прямая: а) ; б) ; в) ; г) ?