Математика

Введение

 

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности, при этом многоугольник называется вписанным в окружность (см. рис. 2).

 

Вся теория описанных окружностей базируется на свойстве серединного перпендикуляра (см. рис. 1).  – серединный перпендикуляр.

Рис. 1. Серединный перпендикуляр

Теорема: серединный перпендикуляр является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Т.е. центр окружности, описанной около отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда все его серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Рис. 2. Вписанный многоугольник

В данном случае , , ,  – четыре серединных перпендикуляра четырехугольника, должны пересечься в одной точке, точке , тогда около этого многоугольника можно описать окружность (см. рис. 2).

 

Окружность, описанная вокруг треугольника

 

 

Не каждый многоугольник обладает таким свойством, любой треугольник этим свойством обладает.

 

Теорема 1: около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство: дан треугольник . Его серединные перпендикуляры , , . Серединный перпендикуляр  пересечется с серединным перпендикуляром  в некоторой точке  (см. рис. 3).

Рис. 3. Окружность, описанная вокруг треугольника

Они пересекутся, т.к.  перпендикулярен к  по определению,  перпендикулярен к , но не перпендикулярен к , так как в таком случае будет две прямые перпендикулярные к , что невозможно, значит,  и  не параллельны и обязательно пересекутся (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Рассмотрим свойства точки . Точка  принадлежит перпендикуляру , а значит, она равноудалена от его концов, , точка  лежит на втором серединном перпендикуляре , значит, она равноудалена от точек  и , .

Выясняется, что точка  равноудалена от всех трех вершин треугольника. Обозначим это расстояние за .

Точка  равноудалена от точек  и , значит, она лежит на серединном перпендикуляре  к отрезку .

Три серединных перпендикуляра пересекаются в точке .

Окружность с центром в точке  и радиусом  описана около данного треугольника.

Мы доказали, что вокруг треугольника можно описать окружность..

Давайте определим, единственная эта окружность или нет. Пусть существует другая описанная окружность с центром  и радиусом . .

Центр этой окружности, точка , должна лежать на пересечении серединных перпендикуляров. Значит, она должна совпадать с точкой . .

Точка  должна быть удалена от точек , ,  на одинаковое расстояние, и совпадать с точкой , значит, . Таким образом, окружности совпадают.

Итак, мы доказали, что около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

 

Окружность, описанная вокруг прямоугольника

 

 

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Есть параллелограмм . Около него нельзя описать окружность.

 

Серединные перпендикуляры  и  параллельны, они не имеют общих точек, иначе это был бы прямоугольник (см. рис. 5).

Рис. 5. Параллелограмм

Около прямоугольника можно описать окружность, и даже можно найти центр этой окружности.

Пусть  – прямоугольник. Мы знаем, что диагонали прямоугольника равны между собой, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, точка  равноудалена от всех вершин этого прямоугольника.  является радиусом этой окружности.  (см. рис. 6)

Рис. 6. Окружность, описанная около прямоугольника

 

Окружность, описанная вокруг равнобедренной трапеции

 

 

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Допустим, есть трапеция , в которой бедра равны: .

 

Если мы опишем окружность около любых трех точек, например, окружность около точек ,  и , то точка  будет принадлежать этой окружности. . А почему? Потому что трапеция имеет ось симметрии – серединный перпендикуляр  к основаниям  и  (см. рис. 7).

Рис. 7. Окружность, описанная вокруг равнобедренной трапеции

Итак, мы видим, что около некоторых четырехугольников можно описать окружность. Подмечаем, что сумма противоположных углов в таких четырехугольниках равна 180 градусам. Это очень важное замечание: . Оказывается, это свойство любого выпуклого четырехугольника.

 

Сумма противоположных углов вписанного выпуклого четырехугольника

 

 

Пока мы ограничимся рассмотрением только выпуклых четырехугольников и для таких четырехугольников докажем теорему.

 

Теорема 2: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Доказательство: пусть ,  (см. рис. 8). Используем теорему о вписанном в окружность угле, тогда дуга .

Дуга . В сумме они составляют всю окружность, а значит, . Делим на два и получаем: .

Еще раз повторим ход доказательства, он прост. Если угол равен , то дуга, на которую он опирается, равна 2. Если вписанный в окружность угол равен , то дуга, на которую он опирается, равна 2.

Если точки, на которые эти углы опираются, совпадают, , а . Что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180 градусам, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Дано: .

Доказательство: опишем окружность около трех точек, например, , , . . Докажем, что точка  тоже лежит на этой окружности.

Предположим противное, пусть точка  не лежит на окружности, а она лежит внутри круга, тогда продлим отрезки  и  и получим точки  и , которые лежат на окружности (cм. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к доказательству

Используем теорему о внутреннем угла окружности. А она говорит, что внутренний угол окружности измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается. Дан угол , который опирается на дугу  (см. рис. 10), пусть он измеряется в .

Угол  опирается на дугу , который измеряется в : .

Доказано, что .

Рис. 10. Иллюстрация к доказательству

Почему? Достаточно всего лишь провести отрезок , чтобы получить требуемое (cм. рис. 10).

По теореме о вписанном угле, .

Для треугольника , угол  – внешний, а внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Т.е. , что и говорилось.

Вернемся к рисунку 9: точка  – внутренняя точка круга, значит,  равен половине дуг, на которые он опирается.

Мы видим, что угол  больше, чем половина дуги .

Угол  равен половине оставшейся дуги .

Сложение этих углов дает: .

А так как дуги  и  в сумме составляют всю окружность, то . Значит, .

Противоречие, по условию, сумма противоположных углов равна 180 градусов. А значит, точка  не может находиться внутри окружности.

Аналогично доказывается, что точка  не может находиться вне окружности.

Задание

Докажите самостоятельно, что точка  не может находиться вне окружности. При этом используйте свойство внешнего угла окружности, он измеряется полуразностью дуг, на которые опирается. Сравните ваше доказательство с доказательством, которое будет приведено ниже в разделе: «Точка  вне окружности».

Итак, мы доказали, что точка  не может находиться внутри окружности, не может находиться вне окружности, точка  находится на окружности. Около четырехугольника можно описать окружность. Теорема доказана.

 

Задача 1

 

 

Из точки , расположенной внутри острого угла , опущены перпендикуляры  и  на стороны угла. Докажите, что четырехугольник  – вписанный. Найдите радиус этой окружности, если  равняется 10 (см. рис. 11).

 

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 1

Дано:

;

Найти: .

Решение

Сумма углов  и  равна 180 градусов, значит, по предыдущей теореме, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Угол  равен 90 градусам и является вписанным, значит,  – диаметр и равен двум радиусам.

 

 

 

Ответ: .

 

Задача 2

 

 

В треугольнике  медиана  равняется половине стороны . Длина медианы  равна 1. Найти радиус описанной окружности (см. рис. 12).

 

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 2

Дано: ;  – середина

Найти: .

Решение

Докажем, что угол  равен 90 градусов. Есть три равных отрезка .

 обозначим , значит,  тоже .  обозначим , значит,  тоже .

Сумма всех углов – 180 градусов, значит, .

Углы  и  составляют угол , значит, он равен 90 градусов. Таким образом, мы выяснили, что наш треугольник – прямоугольный.

Как мы знаем, в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, т.е. в точке . Значит, радиус равен .

Ответ: .

 

Заключение

 

 

Мы выяснили, что такое описанная около многоугольника окружность. Установили, что около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Выяснили, что около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

 

Точка С вне окружности

Мы доказываем теорему: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180 градусам, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Мы провели окружность через три точки , ,  и доказали, что четвертая вершина  не может находиться внутри круга.

Теперь докажем, что точка  не может находиться вне круга (см. рис. 13).

Рис. 13. Доказательство о сумме противоположных углов вписанного выпуклого четырехугольника (точка  вне круга)

Сначала вспомним свойство внешнего угла окружности: есть окружность, точка  вне окружности, проведены две секущие.

Получили угол , он опирается на дугу , на дугу  (см. рис. 14).

Рис. 14. Свойство внешнего угла окружности

Дано:

,

Доказать: .

Доказательство

Доказательство очевидно после единственного дополнительного построения, а именно: проведем . И тогда имеем вписанный угол с вершиной , он опирается на дугу в  градусов, значит, его величина – .

 (по свойству вписанного угла окружности)

Имеем вписанный угол , он опирается на дугу в , значит, его величина равняется .

 (по свойству вписанного угла окружности)

Из : . То есть , откуда . Что и требовалось доказать.

Вернемся к рисунку 13: пусть  лежит вне окружности (, , ), тогда .

Но угол  равен половине дуги : . Складываем полученные неравенства: . Т.к. сумма этих дуг составляет 360 градусов, значит, . А это противоречит условию .

Итак, мы доказали, что точка  не может находиться вне окружности (, , ).

Если точка  не может находиться внутри окружности и не может находиться вне окружности, значит, она находится на окружности. Что и требовалось доказать.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

1. Рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет
2. Nsportal.ru (Источник).
3. Urokimatematiki.ru (Источник).
4. Festival.1september.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании . Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4 м. Найдите радиус описанной окружности.
3. Пусть  – центр круга, описанного около треугольника . Найдите угол , если: а) ; б) .