Математика

Теорема о двух неколлинеарных векторах

 

В предыдущих уроках мы неоднократно решали следующую задачу: даны два неколлинеарных вектора, через которые в многоугольнике нужно выразить некоторые другие векторы. Выполним обобщение такого типа задач.

 

Теорема

Заданы векторы  и . Векторы неколлинеарны. Доказать, что любой третий вектор  однозначно выражается через векторы  и , то есть найдутся такие числа х и у, что: .

Если данная теорема будет доказана, то в некотором смысле можно сказать, что, зная два неколлинеарных вектора, мы владеем всеми остальными векторами на плоскости.

Доказательство:

Из точки С, конца вектора , проведем прямые, параллельные векторам  и . Получим точки А, В – пересечения построенных прямых с продолжениями векторов. Концы векторов обозначим за F и К соответственно (см. Рис. 1). Воспользуемся правилом треугольника и выразим вектор :

Вектор  коллинеарен вектору , так как они

Рис. 1

принадлежат одной прямой согласно построению. Отсюда найдется такое число х, которое в произведении с вектором  даст вектор : . С другой стороны, вектор  равен вектору  по построению, вектор  коллинеарен вектору , значит, аналогично сказанному ранее, .

Таким образом, , то есть вектор  является линейной комбинацией неколлинеарных векторов  и . Кроме того, нашлась такая пара чисел х и у, с помощью которых любой вектор на плоскости можно выразить через два заданных неколлинеарных вектора.

Докажем, что такая пара единственная. Предположим противное: пусть существует такая пара чисел х₁ и у₁, что . Мы предположили, что есть еще одна линейная комбинация тех же двух неколлинеарных векторов для того же третьего вектора. Выполним вычитание полученных выражений:

Слева в выражении стоит нулевой вектор, справа – линейная комбинация двух неколлинеарных векторов, которые друг через друга не выражаются, таким образом, чтобы выполнялось равенство, коэффициенты при векторах в правой части должны быть нулевыми, то есть .

Вывод: разложение вектора  по двум неколлинеарным векторам однозначно.

 

Задача о трапеции

 

 

Пример 1 – задача 790: докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности (см. Рис. 2).

 

Доказать: ;  (при условии, что AD – большее основание, обозначим его за b, а ВС – меньшее основание, обозначим его за а).

Рис. 2

Доказательство:

Введем вектор . Выразим его через другие векторы, пользуясь правилом многоугольника. Напомним, что вектор , :

С другой стороны:

Выполним сложение полученных выражений:

Векторы  очевидно противоположны, и их сумма составляет нулевой вектор, аналогично и векторы  сокращаются. Получаем:

Поделим обе части выражения на два:

Из полученного равенства следует, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований. Кроме того, из равенства векторов в правой и левой частях следует, что они коллинеарны между собой, а также коллинеарны векторам  и , таким образом, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям, что и требовалось доказать.

Обратим внимание, что несложно доказывается тот факт, что отрезок MN принадлежит средней линии трапеции, и данным фактом можно пользоваться при решении различных задач (см. Рис. 3).  Напомним, что отрезок средней линии ММ₁ – средняя линия треугольника , отсюда . Аналогично . Таким образом, можно найти длину отрезка, не пользуясь

Рис. 3

векторами, для этого следует вычесть из длины средней линии трапеции (она равна полусумме оснований) длины только что найденных отрезков:

Итак, мы рассмотрели применение векторов при решении различных задач, доказали некоторые свойства фигур и решили наиболее распространенные типы задач.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Terver.ru (Источник).
2. Cleverstudents.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Задание 1: точки M и N – середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. Докажите, что

2. Задание 2: дан произвольный треугольник . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника

3. Задание 3: докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пересечения делятся пополам.