Математика

Подобные треугольники

 

Треугольники называются подобными, если углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

 

Имеем два треугольника ,  (см. Рис. 1).

Сходственные стороны – те стороны, которые лежат против равных углов.

Рис. 1. Подобные треугольники

Определение:

:

Проверять все равенства не нужно, существуют признаки подобия.

Первый признак подобия

Если хотя бы по два соответствующих угла треугольников равны, то эти треугольники подобны.

Второй признак подобия

По углу и пропорциональности прилежащих сторон.

 

Третий признак подобия треугольников

 

 

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

Дано:

Доказать:

Доказательство

Чтобы доказать третий признак, мы можем использовать второй признак, так как там есть пропорциональность сторон и нам останется доказать равенство угла, например, что . То есть мы докажем, что эти углы равны, сошлемся на второй признак, и третий признак будет доказан.

Вспомогательное построение: (см. Рис. 2).

Построим треугольник : – по первому признаку подобия.

Рис. 2. Доказательство третьего признака

Раз эти треугольники подобны, то можно выписать пропорциональность их сторон, сравнить с данной пропорциональностью и получить важные выводы.

Сравним с пропорциональностью сторон исходных треугольников.

Значит,  и .

Из сравнения двух равенств следует, что треугольник  равен треугольнику  по трем сторонам.

Из равенства треугольников вытекает:

Итак, в двух исходных треугольниках имеем равные углы  и  и прилежащие стороны пропорциональны, значит, эти треугольники подобны по второму признаку подобия треугольников.

Что и требовалось доказать.

Специфика третьего признака подобия треугольников заключается в том, что в нем не фигурируют углы. Есть пропорциональность сходственных сторон. А как найти равные углы?

Перейдем к задачам.

 

Задача 1

 

 

По данным рисунка определите подобие треугольников, отметьте равные углы (см. Рис. 3).

 

Рис. 3. Условие задачи 1

Решение

Заметим пропорциональность сторон

 – по третьему признаку

Отметим равные углы (см. Рис. 4).

Рис. 4. Подобные углы треугольников

Ответ:  и  подобны.

 

Задача 2

 

 

По данным рисунка определить подобие треугольников (см. Рис. 5).

 

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Эти треугольники существуют, т. к. их самые большие стороны меньше, чем сумма двух других сторон:

Пропорциональности сторон не наблюдаем.

.

Ответ:  и  не подобны.

 

Задача 3

 

 

Стороны  равны 1; 3; 5. Стороны  равны 2; 6; 10. Определить подобие треугольников.

 

Решение

 – эти пары отрезков пропорциональны.

Однако треугольники с такими сторонами не существуют.

Ответ:  и  не существуют.

 

Задача 4

 

 

Дано: , ,  (см. Рис. 6).

 

Найти: ; .

Решение

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 4

1.                   – по третьему признаку

Стороны одного треугольника выражены через стороны другого треугольника.

Отсюда важное свойство периметров подобных треугольников – их отношение равно коэффициенту подобия.

2.         Чтобы найти площадь, нужно найти высоту, поэтому проведем  – высоту в первом треугольнике: (см. Рис. 7).

Также проведем высоту во втором треугольнике:

Рис.7. Иллюстрация к задаче 4

Тогда имеем прямоугольные треугольники, которые подобны по первому признаку:

Найдем коэффициент их подобия :

Теперь мы готовы сравнить площади:

Итак, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициенту их подобия.

Ответ: 1. ; 2. .

 

Задача 5

 

 

Дано: ; ; ; ; ; .

 

По данным рисунка 8 докажите, что .

Рис. 8. Условие задачи 5

Доказательство

Есть два треугольника с известными сторонами:  и .

Проверим пропорциональность или непропорциональность этих сторон.

Для подобия нужно, чтобы выполнялось равенство: .

 (по третьему признаку)

Мы видим, что сторона  лежит против угла , сторона  лежит против угла , значит, угол  равен углу , а значит, .

Что и требовалось доказать.

 

Заключение

 

 

Итак, мы доказали третий признак подобия треугольников, обсудили его, решили типовые задачи.

 

 

Список литературы

1. Геометрия, 7–9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

2. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

4. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Я Класс» (Источник)

2. Интернет портал «Уроки математики» (Источник)

3. Интернет портал «Учебно – методический кабинет» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Дано:  – биссектриса угла ,  и .

а. По какому признаку подобны данные треугольники ?

б. Вычислите , если , , .

2. Определите, подобны ли треугольники со сторонами: 15, 12, 13 и 26, 24, 30.

3. На рисунке найдите подобные треугольники и докажите их подобие.