Математика

 

 

Тема: Подобные треугольники

 

Урок: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

 

1. Первый признак подобия и его формулировка для прямоугольного треугольника

 

 

На этом уроке мы познакомимся с пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике, выведем соответствующие формулы.

 

Для этого нам понадобится первый признак подобия треугольников. Вспомним его: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (см. Рис. 1).

Рис. 1

; . При этом коэффициент  называется коэффициентом подобия.

 

2. Углы в прямоугольном треугольнике

 

 

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники.

 

Поскольку в прямоугольных треугольниках всегда есть пара равных углов (это прямые углы), то для них можно сформулировать следующий признак подобия: прямоугольные треугольники подобны, если имеют равные острые углы (см. Рис. 2).

Рис. 2

.

При этом отметим важный факт: в прямоугольных треугольниках сумма острых углов равна :

Рассмотрим простую задачу для прямоугольного треугольника.

Дано:  – прямоугольный (), ,  – высота.

Найти: остальные углы треугольника (см. Рис. 3).

Решение:   

Для решения задачи будем использовать сформулированный выше факт: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

Рис. 3

 . Значит, .

Кроме того, треугольник  – также прямоугольный, поэтому сумма его острых углов также равна   (см. Рис. 4).

Аналогично с треугольником : .

Рис. 4

Из этого свойства прямоугольного треугольника и его высоты, проведённой к гипотенузе, следует несколько важных фактов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с высотой, которая проведена к гипотенузе (см. Рис. 5).

 

Рис. 5

 – проекция катета  на гипотенузу ,  – проекция катета  на гипотенузу  – это стандартные обозначения.

На Рис. 5 изображено три прямоугольных треугольника , причём в каждом из них есть острый угол . Значит, эти треугольники подобны по первому признаку подобия для прямоугольных треугольников: .

 

3. Теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

 

 

С помощью этого факта можно доказать три теоремы:

 

1.       (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

2.       (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

3.       (высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу).

Определение

Средним геометрическим двух неотрицательных чисел  и  называется такое неотрицательное число , что: .

Докажем сформулированные выше теоремы.

 

4. Доказательство теорем

 

 

Теорема 1. .

 

Доказательство:

Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон:  (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .

Доказано

Теорема 2. .

Доказательство:

Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон: . (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .

Доказано.

Теорема 3. .

Доказательство

Воспользуемся подобием треугольников . Запишем отношение соответствующих сторон:  (отношение сторон, лежащих против угла , равно отношению сторон, лежащих против угла ). Из этой пропорции получаем: . Или: .

Доказано.

 

5. Альтернативное доказательство теоремы Пифагора

 

 

Примечание:

 

Сформулируем ещё одно альтернативное доказательство теоремы Пифагора с помощью доказанных выше теорем.

.

Доказанные теоремы позволяют решать многие задачи, связанные с прямоугольными треугольниками.

 

6. Пример на применение доказанных теорем

 

 

Пример 1

 

Дан прямоугольный треугольник  (  – высота. . Найти  (см. Рис. 6).

Решение:

Рис. 6

Найдём длину гипотенузы: . Далее воспользуемся доказанными теоремами:

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели пропорциональные отрезки в прямоугольных треугольниках и их применение при решении задач. На следующем уроке мы рассмотрим практические приложения подобия треугольников.

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Oldskola1.narod.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. № 135(а), 136(а), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
2. В прямоугольном треугольнике  () проведена высота . Найдите: а) , если ; б) , если  см, .
3. Найдите периметр прямоугольного треугольника, высота которого делит гипотенузу на отрезки длиной  и .