Математика

130. Степень с целым показателем и ее свойства.

До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя:

${\mathit{a}}^{\mathit{-}\mathit{n}}\mathit{=}\frac{\mathit{1}}{{\mathit{a}}^{\mathit{n}}}$ при а≠0 и n∈N.

Пользуясь этим определением, найдем, что $5^{-2}=\frac{1}{25}$; ${(-3)}^{-4}=\frac{1}{{(-3)}^4}=\frac{1}{81}$.

Теперь можно использовать формулу $a^m:a^n=a^{m-n}$ при $m<n$. Например, $a^4:a^7=a^{4-7}=a^{-3}$

Если мы хотим, чтобы формула $a^m:a^n=a^{m-n}$ была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

Примеры: $2^0=1$; ${(-5)}^0=1$; ${\left(\frac{3}{5}\right)}^0=1$.

Выражению 0ⁿ при целом отрицательном n (так же как и при n=0) не приписывают никакого значения; это выражение не имеет смысла.

Известные вам свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно только предполагать, что основание степени не равно нулю).

Для каждого а≠0 и любых целых m и n:

a^m·aⁿ = a^m+n

a^m:aⁿ = a^m-n

(a^m)ⁿ = a^mn

Для каждого а≠0 и любого целого n:

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

${\left(\frac{\mathit{a}}{\mathit{b}}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{=}\frac{{\mathit{a}}^{\mathit{n}}}{{\mathit{b}}^{\mathit{n}}}$

Пример. Преобразуем произведение a^-17·a²¹.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют тем же, а показатели степеней складывают:

a^-17*a²¹ = a^-17+21 = a⁴.