Математика

Определение правильного многоугольника

 

Правильным многоугольником называется такой выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.

 

Вот фрагмент правильного n-угольника:  – сторона,  – длина этой стороны,  – угол (рис. 1). Все стороны равны, и все углы тоже равны:

Рис. 1. Выпуклый многоугольник

Такой выпуклый n-угольник называется правильным.

 

Особенности правильного многоугольника

 

 

У правильного n-угольника есть важные особенности.

 

1. Серединные перпендикуляры всех сторон пересекаются в одной точке (), в центре описанной окружности, радиусом окружности является отрезок ;  и т. д.

2. Все биссектрисы всех внутренних углов пересекаются в одной точке . Значит, в n-угольник можно вписать окружность,  – середины сторон, это точки касания,  – это радиус вписанной окружности.  

Итак, есть описанная окружность и есть вписанная окружность, центр один и тот же (точка ), эта точка называется центром правильного n-угольника, а радиусы  являются важными элементами этого -угольника(рис. 2).

Далее отметим, что имеем равенство треугольников ,  и т. д.

Если мы зафиксируем , то важнейшими элементами n-угольника являются: длина стороны (); длина радиуса описанной окружности (); длина радиуса вписанной окружности (); периметр (); площадь (. Первые 4 элемента линейные. При заданном  любой из линейных элементов однозначно задает n-угольник, а значит, и все его основные элементы.

Рис. 2. Правильный многоугольник с описанной и вписанной окружностями

 

Задача 1, вычисление элементов правильного n – угольника через радиус описанной окружности

 

 

Зададим (рис. 3), требуется найти все остальные элементы (), заметим, что  у нас – фиксированное число.

 

Рис. 3. Элементы многоугольника

Решение

Решение основано на треугольнике .

 – это центр n-угольника, центр вписанной и описанной окружности;

 – это вершина, она лежит на описанной окружности, значит,  – это и есть радиус.

 – это половина стороны, потому что точка  – это точка касания с вписанной окружностью.

Важно, что мы знаем (∠, а  – половина этого угла).

 – радиус описанной окружности;  – радиус вписанной окружности;

 – половина стороны.

Если нам дан радиус, то, по существу, нам необходимо решить прямоугольный треугольник, в котором дана гипотенуза () и острый угол.

Чтобы найти катет (), необходимо гипотенузу () умножить на синус противолежащего угла ():

Задача решена, методика решения остальных задач такая же.

 

Задача 2, вычисление элементов правильного n – угольника через длину стороны

 

 

Дано:

 

Найти:

Решение

Решение основано на .

Находим (рис. 4),  – гипотенуза, чтобы найти гипотенузу, необходимо катет разделить на синус противолежащего угла.

Находим (рис. 4),  – катет, чтобы найти катет через другой катет, необходимо этот другой катет умножить на котангенс прилежащего угла:

Осталось найти :

Рис. 4. Радиусы описанной и вписанной окружностей

Задача решена.

 

Задача 3, для площади правильного n – угольника

 

 

Дано:

 

Найти:

Решение

 – это периметр ()

Ответ:.

Частные случаи

 

 

Задача 4, для правильного треугольника

 

 

Важнейшим частным случаем является правильный треугольник.

 

Задача 4

Первый способ

Дано: ;

Найти:

Решение

Задача решена.

Второй способ

Рис. 5. Радиусы описанной и вписанной окружности

Рисунок 6.

Чтобы найти катет () (рис. 5), необходимо гипотенузу умножить на :

Катет, лежащий против угла в, равен половине гипотенузы:

Чтобы найти катет, нужно гипотенузу умножить на :

Задача решена.

Вывод

Мы познакомились с понятием «правильный многоугольник», узнали, каковы его элементы, и вывели формулы для их вычисления, решили типовые задачи, рассмотрели задачи частного случая.

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Matematikalegko.ru (Источник).
2. Resolventa.ru (Источник).
3. Edu.sernam.ru (Источник).

 

Домашнее задание

Задание 1. Верно ли утверждение:

а) любой правильный многоугольник является выпуклым;

б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.

Задание 2. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен  см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Задание 3. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?