Математика

Случайные события. Закон больших чисел

 

В «случайности события» можно усомниться – действительно, любое событие определяется условиями, в которых оно происходит. Классический пример случайного события: выпадение орла или решки определяется силой броска, высотой над поверхностью, закручиванием монеты. Есть даже научные статьи, посвященные расчетам того, какой стороной упадет монетка!

 

Но предопределенность не означает предсказуемость или вычислимость. Даже поведение системы из трех тел, взаимодействующих по закону тяготения Ньютона, нельзя описать в общем случае (можете почитать в интернете о задаче трех тел). Что уж говорить о предсказании, например, погоды, на которую влияет огромное множество факторов.

Любая вычислительная техника работает по четким алгоритмам, поэтому в этой сфере также сложно говорить о какой-то случайности (для задания случайности в компьютерных программах, например, могут использовать привязку ко времени). Да и наш мозг хоть и более сложный механизм, чем компьютер, но тоже подчиняется некоторым закономерностям. Так что если вас попросят назвать случайное число от 1 до 9, то ваш ответ вряд ли можно будет считать «случайным». Ведь у вас может быть любимое число, или вас могут подтолкнуть к определенному ответу психологическими приемами. Так почему же после всего этого мы говорим о случайности? И что мы вообще тогда понимаем под случайным событием?

Когда мы говорим о случайных событиях, нас, прежде всего, интересуют будущие события: произойдут они или нет. То есть мы как бы пытаемся предсказать будущее. И с точки зрения предсказания невозможно учесть огромное количество факторов, влияющих на результат. Именно поэтому мы говорим о случайности события.

Ввиду большого количества факторов нельзя точно предсказать появление случайного события. Но если событие происходит неоднократно, можно оценить частоту его появления. При большом количестве данных можно предположить, что это частота будет оставаться такой же и в дальнейшем. Значение этой частоты называют вероятностью случайного события. Это статистический подход к вероятности. Еще есть классический подход к вероятности, его можно применить для равновозможных событий. Подробнее о классическом подходе шла речь в уроке «Комбинаторика. Теория вероятностей».

Как же понять, что такое вероятность? Рассмотрим конкретный пример. Можно рассчитать вероятность того, что в группе из 30 человек хотя бы у двух будет день рождения в один день. Эта вероятность составит ! О том, как это посчитать, мы поговорим немного позже. А сейчас попробуем понять, что это нам дает. Закон больших чисел говорит о том, что если взять достаточно большое количество групп из 30 человек, то приблизительно в  из них мы найдем пару людей с одинаковым днем рождения.

Правда, не совсем понятно, «достаточно большое количество» – это сколько? Десять, сто, миллион? Об этом в законе больших чисел говорится следующее: чем больше будет групп, тем ближе их процент будет приближаться к значению вероятности.

Эта интерпретация вероятности активно используется в страховании. Разберем на примере автострахования.

 

Задание 1. Страховая компания рассчитала, что вероятность угона автомобиля некоторой марки стоимостью  р. в ближайший год составляет . Какую сумму страхового платежа она должна назначить, чтобы избежать убытков? По условию договора владельцу угнанной машины компенсируется полная ее стоимость.

Решение

Вероятность  означает, что при достаточно большом количестве машин  из них буду угнаны. Например, из  застрахованных машин угонят :

Тогда по условиям договора страховая должна будет выплатить:

Чтобы не потерпеть убытки, компания должна получить эти деньги от  водителей:

т. е. по  руб. от каждого.

Таким образом, и страховая компания не в убытке, и водители в случае угона смогут получить компенсацию в  руб., заплатив  руб. в год.

Аналогичным образом работают и любые другие виды страхования. Поэтому ясно, почему цена на медицинское страхование зависит от возраста и поля деятельности человека, а при крупных страховых выплатах компания заинтересована в тщательном расследовании. Если вопросы все-таки остались, можете ознакомиться с текстом ниже.

Ответ:  руб.

---

 

От чего зависит цена страхования

Обратим внимание на расчеты в предыдущей задаче. Чтобы посчитать размер страхового платежа, нужно было умножить величину выплаты ( руб.) на вероятность события (). То есть при одной и той же выплате размер платежа по страховке прямо пропорционален вероятности страхового случая. Так что в медицинском страховании важен и возраст, и род деятельности, и другие особенности, которые указываются в анкете. Ведь чем старше человек, тем вероятность болезни у него больше. Вероятность травмы у профессионального спортсмена будет выше, чем у офисного работника. Так что эти и многие другие факторы учитываются при расчете платежа.

Кроме того, предполагается, что страховой случай – это случайное событие. Поэтому страховая компания заинтересована в проверке того, не был ли подстроен страховой случай. Ведь подобное мошенничество, естественно, нарушит все рассуждения о вероятности и компания понесет убытки: если кто-то застраховал бы машину от угона и сам его устроил, то компании пришлось бы выплатить  руб., а мошенник заработал бы  руб., да еще и остался с машиной.

---

 

Серия испытаний Бернулли

 

 

Итак, мы разобрались с понятием вероятности. Полученные выводы можно проверить экспериментально. Самое простое, что можно сделать, – это подбрасывать монетку. Мы знаем, что вероятность выпадения орла или решки по . Т. е. при большом количестве подбрасываний должно получиться подобное соотношение. И чем больше подбрасываний, тем соотношение должно быть ближе к 50 на 50.

 

Можете проверить это самостоятельно. А мы пока проведем мысленный эксперимент. Мы подбросили монетку 10 раз и… все 10 раз выпал орел. В чем же дело? Можно подумать, что дальше выпадет 10 решек и все станет на свои места. И это ошибка! Подбрасывания монетки – это независимые события. Последующие 10 бросков никак не зависят от предыдущих.

Можно успокоить себя тем, что просто сделано мало бросков. И по идее с увеличением их количества соотношение должно прийти к . Но… после еще 40 бросков мы получили еще 40орлов. Как такое возможно? Давайте разбираться.

Считаем монетку полностью симметричной и вероятность выпадения орла:

Мы провели 50 независимых испытаний, в каждом из них выпадал орел. Вспомним, что вероятности независимых событий можно перемножить. Тогда вероятность того, что среди 50 бросков выпадет 50 раз орел, будет равна:

Видим, что есть вероятность такого события, оно теоретически возможно. Но лишь теоретически, в реальности такая ситуация вряд ли произойдет. Ведь по закону больших чисел такая вероятность означает, что среди  таких испытаний приблизительно в 1 будет такой результат.

Для сравнения: если бы каждый житель планеты каждый час своей жизни проводил бы по 1 такому эксперименту, подбрасывая монету 50 раз, то приблизительно в 4 экспериментах выпали бы все 50 орлов.

Так что, если кто-то при вас подбрасывает монетку и у него 50 раз подряд выпадает орел, стоит задуматься, не являются ли эти события «неслучайными». Например, используется монета со смещенным центром тяжести. Или человек научился подбрасывать монету особым образом.

Общий вывод можно сформулировать так: маловероятные события возможны, но сталкиваясь с ними, есть смысл перепроверить исходные данные, чтобы убедиться в их случайности.

Мы посчитали вероятность выпадения только орла в серии испытаний. А как посчитать вероятность того, что выпадет 1, 2, 3 орла; что выпадет поровну орлов и решек? Займемся расчетами.

Вероятность что первым выпадет орел:

В оставшиеся  раз должна выпасть решка:

Итого, вероятность, что первым выпадет орел, а затем все решки:

Но нас устраивают и другие варианты: когда орел выпадет вторым, а все остальные решки, когда он выпадет третьим и т. д. Всего таких вариантов 50, вероятность каждого:

Все эти варианты являются несовместными событиями, поэтому можем сложить их вероятности. Получим:

Это и будет вероятность выпадения 1 орла и 49 решек в серии испытаний.

Теперь посчитаем вероятность выпадения 2 орлов. Пусть сначала выпали два орла:

Затем выпали 48 решек:

Кроме такого, нас устроят и другие варианты: первый и третий выпали орлы, второй и третий выпали орлы и т. д. Посчитать все подходящие варианты нам поможет комбинаторика. По сути, нам нужно выбрать положение 2 орлов среди 50 монет. Это можно сделать  способами. Получаем вероятность выпадения 2 орлов при 50 бросках:

Аналогично можно сказать, что вероятность выпадения орла  раз будет равна:

А если взять не 50, а  бросков монеты, получим формулу:

Полученное выражение можно обобщить, рассмотрев не только броски монеты, но и любое повторяющееся событие. Так, если вероятность некоторого события  равна , то в серии из  независимых испытаний вероятность, что событие  произойдет ровно  раз, равна:

Это выражение носит название формулы Бернулли» для серии испытаний. Формула выпадения орла является ее частным случаем: вероятность выпадения орла , вероятность невыпадения равна:

 

Расчет вероятностей

 

 

Рассмотрим пример задачи, которую можно решить с использованием формулы Бернулли.

 

 

Задание 2. В настольной игре вам нужно бросить 4 кубика. Какова вероятность того, что:

А) ровно на 1 из кубиков выпадет число 2;

Б) более чем на 1 кубике выпадет число 2 (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к заданию 2

Решение

А) Считаем по формуле Бернулли. Вероятность выпадения числа 2 на кубике:

Вероятность, что число 2 не выпадет:

Тогда при броске 4 кубиков вероятность, что ровно на 1 кубике выпадет число 2, а на остальных трех не выпадет, равна:

Б) Число 2 выпадет более чем на одном кубике – значит, оно выпадет на 2, 3 или 4 кубиках. Соответственно, нужно посчитать вероятности каждого из событий и сложить.

Но можно поступить проще – посчитать вероятность противоположного события. Т. е. вероятность того, что число 2 выпадет на 1 кубике или не выпадет вообще. Это будет действительно проще – тут нужно считать только два значения, да и одно из них мы уже знаем:

Посчитаем вероятность того, что число  не выпадет ни на одном из кубиков.

Тогда вероятность, что число 2 выпадет на 1 кубике или не выпадет вовсе, равна:

Тогда вероятность, что это число выпадет более 1 раза, – это вероятность противоположного события:

Ответ: ; .

Решим еще несколько задач на расчет вероятностей повторяющихся событий.

 

Задача 3. Оценить вероятность того, что во время прогулки по городу вы случайно встретите кого-то из знакомых. Для конкретики предположим, что вы живете в городе с миллионом населения, у вас есть около  знакомых, а за время прогулки вы встретили около  человек.

Решение

Итак, представим задачу в виде серии испытаний. То, что вы встретили человека, – это одно испытание. Он может оказаться вашим знакомым, а может и нет. Мы предположим, что это абсолютно случайные встречи – то есть вы гуляете не во дворе с друзьями и вы не сознательно договорились с кем-то встретиться. Соответственно, встречи с каждым из миллиона человек в городе будем считать равновозможными. Тогда вероятность, что человек при встрече окажется вашим знакомым, можно вычислить по формуле классической вероятности:

Соответственно, вероятность, того, что он будет незнакомцем, равна:

Мы оценили вероятности для 1 испытания. Всего вы встретили  человек, т. е. всего  испытаний. Для каждого из них можно приближенно считать, что вероятности будут те же. Чтобы дать ответ в поставленной задаче, удобнее сначала посчитать вероятность обратного события – вероятность того, что мы никого из знакомых не встретим:

Значение этого выражения можно вычислить, пользуясь приближенной формулой , о которой шла речь в ответвлении к уроку Повторение. Преобразование выражений:

Тогда вероятность встретить хотя бы одного знакомого:

Ответ: .

Аналогичным образом можно рассчитать и вероятность совпадения дней рождения, о которой говорилось ранее. Подробнее об этом ниже.

---

 

Парадокс дней рождения

Задание. Оценить вероятность того, что в группе из  человек найдется хотя бы  пара людей, у которых день рождения в один день.

Решение

Для простоты будем считать, что для каждого из  дней в году вероятность рождения одинакова. В действительности это не совсем так: кто-то мог родиться в високосный год, в группе могут быть близнецы, точно родившиеся в один день, да и в целом дни рождения не равномерно распределены по календарю. Но мы упрощаем модель, ведь нам достаточно оценить вероятность.

Расчет будем производить аналогично предыдущей задаче – сначала посчитаем вероятность обратного события, т. е. вероятность того, что ни у кого из группы дни рождения не совпадают.

Рассмотрим произвольного человека с его датой рождения. Возьмем второго человека. Вероятность, что его день рождения совпадает с первым:

Соответственно, что не совпадает:

Берем третьего человека. Вероятность, что его день рождения совпадает с первым или вторым:

Соответственно:

Аналогично можем продолжать для всех последующих людей. Для последнего получим вероятность:

Перемножив вероятности, получим:

Вычислим это выражение:

Тогда вероятность, что хотя бы у кого-то совпадут дни рождения, равна:

Ответ: .

---

 

Случайные величины

 

 

Говоря о случайном событии, мы пользуемся бинарной логикой. То есть говорим только о 2 возможных исходах: событие произойдет или не произойдет. Третьего не дано. Но окружающие нас события не ограничиваются простыми «да» или «нет». Многие события можно описать численно. В таком случае мы будем уже говорить о случайной величине.

 

Самый простой пример – бросок кубика. Мы можем охарактеризовать его числом точек на выпавшей грани. Это и будет случайная величина. При многократном подбрасывании монетки мы также можем выделить случайную величину – количество выпавших орлов и решек. Возраст, рост и вес случайного человека, количество листьев на дереве, высота стола – все это примеры случайных величин.

Конечно, как и в случае с событиями, здесь можно усомниться в слове «случайные». Рост и вес человека определяются его генетическими предрасположенностями и образом жизни; условия роста листьев можно отследить и предсказать их количество; а высота стола вообще определена стандартами производства.

Объяснение «случайности» здесь будет абсолютно такое же, как и для событий: на результат влияет множество факторов. И все их отследить и предсказать невозможно. Даже в случае с размерами стола – на производстве можно задать его высоту с точностью до сантиметров или даже миллиметров. Но при более точном измерении размеры разных изделий будут незначительно, но отличаться.

Перейдем к описанию случайных величин. Если для случайного события нам достаточно было задать вероятность этого события, то для случайной величины нам нужно каждому ее значению поставить в соответствие некоторую вероятность, при этом сумма этих вероятностей будет равна 1. Таким образом, мы зададим распределение случайной величины.

Например, при броске кубика каждое число выпадает с вероятностью . Распределение можно указать с помощью таблицы:

Значение СВ
Вероятность

 

Или задать на графике (см. рис. 2).

Рис. 2. Распределение случайной величины

Для  подбрасываний монетки распределение количества выпавших орлов будет иметь следующий вид (см. рис. 3).

Рис. 3. Распределение количества выпавших орлов

Важной характеристикой случайной величины является математическое ожидание. Оно определяется как сумма произведений значений величины  на их вероятность :

Математическое ожидание указывает на значение, которое «в среднем» принимает случайная величина. Например, математическое ожидание числа точек при броске кубика равно:

Чтобы объяснить значения слов «в среднем», нам снова понадобится закон больших чисел. Для случайных величин он принимает следующую формулировку: среднее арифметическое значений конечной выборки из распределения близко к математическому ожиданию этого распределения. Чем больше элементов в выборке, тем ближе будет значение.

Разберемся, что это значит, на примере броска кубика. Если мы будем подбрасывать кубик и записывать результаты бросков, мы получим выборку – статистический набор данных. Так вот, закон больших чисел утверждает, что при достаточно большом количестве бросков среднее арифметическое этой выборки будет близко к математическому ожиданию.

 

Заключение

Таким образом, для большинства прикладных задач закон больших чисел позволяет свести изучение случайных величин к изучению статистического набора данных. При этом математическое ожидание случайной величины будет соответствовать среднему арифметическому набора данных; вероятность появления величины – относительной частоте этой величины в выборке. Остальные характеристики, такие как мода, медиана, дисперсия и стандартное отклонение у случайной величины, будут такие же, как и у набора данных. А как работать с характеристиками статистического набора данных, мы уже знаем из урока о статистике.

 

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал mathhelpplanet.com (Источник)
2. Интернет-портал mathprofi.ru (Источник)
3. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Оценить, выгодно ли упаковывать чемодан в аэропорту. От соотношения каких параметров это зависит?
2. Какова вероятность того, что при  подбрасываниях монетки  раз выпадет орел? Как изменится решение, если нужно найти вероятность выпадения  орлов подряд?
3. Стрелок каждым выстрелом попадает в мишень с вероятностью . Какова вероятность того, что при  выстрелах он попадет в мишень хотя бы  раз?