Математика

 

 

Тема:  Элементы теории тригонометрических функций

 

Урок: Числовая окружность

 

1. Тема урока, введение

 

 

Наша ближайшая цель – определить тригонометрические функции:  синус, косинус, тангенс, котангенс-

 

 

2. Числовая окружность

 

 

Числовой аргумент можно откладывать на координатной прямой или на окружности.

 

Такая окружность называется числовой или единичной, т.к. для удобства берут окружность с

Например, дана точка  Отметим ее на координатной прямой

и на числовой окружности.

При работе с числовой окружностью условились, что движение против часовой стрелки – положительное направление, по часовой стрелке – отрицательное.

Типовые задачи – нужно определить координаты заданной точки либо, наоборот, найти точку по ее координатам.

Координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками и числами. Например, числу  соответствует точка А с координатой

Каждая точка  В с координатой характеризуется только одним числом – расстоянием от 0 до взятым со знаком плюс или минус.

На числовой окружности взаимно-однозначное соответствие работает только в одну сторону.

Например, есть точка В на координатной окружности (рис.2), длина дуги  равна 1, т.е. эта точка соответствует 1.

=1.

Дана окружность, длина окружности  Если  то  – длина единичной окружности.

Если мы прибавим , получим ту же точку В, еще  – тоже попадем в т. В, отнимем  – тоже т. В.

Рассмотрим точку B: длина дуги =1, тогда числа характеризуют т. В на числовой окружности.

Таким образом, числу 1 соответствует единственная точка числовой окружности – точка   В, а точке В соответствует бесчисленное множество точек вида  .

Для числовой окружности верно следующее:

Если т. М числовой окружности соответствует числу  то она соответствует и числу вида

Можно делать сколько угодно полных оборотов вокруг числовой окружности в положительном или отрицательном направлении – точка одна и та же. Поэтому тригонометрические уравнения имеют бесчисленное множество решений.

Например, дана точка D. Каковы числа, которым она соответствует?

Измеряем дугу .

множество всех чисел, соответствующих точке D.

 

3. Основные точки окружности

 

 

Рассмотрим основные точки на числовой окружности.

 

 длина всей окружности.

.

 

Т.е. запись множества координат может быть различной.

 

4. Примеры

 

 

Рассмотрим типовые задачи на числовую окружность.

 

1. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Выделяем целую часть:

.

Необходимо найти т. на числовой окружности. , тогда.

В это множество входит и точка .

2. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Необходимо найти т.

т.также принадлежит этому множеству.

Решая стандартные задачи на соответствие между числами и точками на числовой окружности, мы выяснили, что можно для каждого числа найти единственную точку, и можно для каждой точки найти множество чисел, которые характеризуются данной точкой.

Пример.

Разделим дугу  на три равные части и отметим точки M и N.

Найдем все координаты этих точек.

 

5. Заключение

 

 

Итак, наша цель – определение тригонометрических функций. Для этого нам необходимо научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки единичной окружности и решили две типовые задачи – найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки единичной окружности.

 

 

Список рекомендованной  литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика (Источник).

2. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

3. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

4. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

 

 Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.