Математика

Определение косинуса

 

Вспомним определение косинуса:

 

 – любое действительное число, ему соответствует единственная точка  на числовой окружности. Как эта точка получается: начало отсчета ­– точка , дуга  откладывается против часовой стрелки, если  – положительное число и по часовой стрелке, если отрицательное. Длина дуги равняется модулю числа . Задали произвольное  и получили единственную точку , у которой есть единственная пара координат . Первую координату назвали косинусом (), а вторую – синусом () (рис. 1).

В соответствии с данным правилом, мы дали определение двум функциям:  и .

Рис. 1. Иллюстрация для определения косинуса

 

Построение графика

 

 

Построим график функции  из определения по точкам.

 

	0
	1				0

Если мы захотим узнать значение косинуса в иных точках, то используем формулу .

Например:

Получается, зная значения косинуса при  и данную формулу, вполне можно узнать значения косинуса для любых значений . Для этого используется симметрия функции косинуса (благодаря ее четности) и периодичность, учитывая, что период у косинуса равен .

Построим график косинуса по точкам (рис. 2):

На отрезке  отметим точки, кратные , , как показано на рисунке, это значения аргумента.

Рис. 2. График функции косинуса по точкам

Для начала необходимо нарисовать график лишь на отрезке . Так как функция четная, график симметричен относительно оси ординат – получим и график на отрезке . В результате имеем график на отрезке . Так как этот промежуток длиной в период (, то этого достаточно, чтобы впоследствии нарисовать весь график.

Изучим функцию и построим график косинуса, используя график синуса и связь между синусом и косинусом:

Эта формула позволяет, зная график синуса, сдвинуть его на  в нужную сторону и получить график косинуса.

Докажем данную формулу.

Произвольному числу  соответствует единственная точка , тогда числу  будет соответствовать тоже единственная точка . Мы знаем, как получились точки  и , причем  или длина дуги  (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к доказательству формулы связи синуса и косинуса

Итак, имеется две точки  и . Косинус  – это отрезок . Синус  – это отрезок . Докажем, что эти отрезки равны.

Исходя из графика, можно сделать вывод, что эти отрезки равны по знаку. Оба отрезка входят в соответствующие треугольники в качестве сторон, значит, нам можно доказать равенство треугольников, чтобы доказать равенство сторон.

Докажем, что дуга  равна дуге .

Дуга  получается, если отнять от дуги  дугу : .

Дуга  получается, если отнять от дуги  дугу : .

Из этих двух равенств следует, что дуги  и  равны. А значит, центральный угол  равен центральному углу . Получается, что накрест лежащие углы также равны, а значит, . В результате получаем, что  по углу и гипотенузе, так как они прямоугольные,  и гипотенузы являются радиусами в одной и той же окружности. Из равенства треугольников получаем равенство отрезков , значит, .

Построим теперь график  (здесь заменена буква  на более привычную ), или, что то же самое, график . Этот график можно построить, если синусоиду  сдвинуть влево на . Итак, строится график , сдвигаем каждую точку на  влево, получаем кривую  (рис. 4).

Рис. 4. Построение графика косинуса, сдвигом графика синуса

 

Свойства функции y=cost

 

 

Свойства функции :

 

1. Областью определения (областью допустимых значений) данной функции является множество всех действительных чисел (). Каждому действительному числу сопоставляется единственное число .

2. Множество значений данной функции  – отрезок от минус одного, до одного (). Один из способов получения данного промежутка – это спроецировать график косинуса на ось ординат, тогда мы и получим отрезок . Здесь заключены два утверждения: при задании любого  мы получим , который будет лежать в данном диапазоне; задав любое значение  из этого отрезка, знаем, что оно достигается хотя бы при одном значении .

3. Функция периодична. Наименьший положительный период . Это означает, что для любого  .

4. Четность функции. Это означает, что для всех значений аргумента из области определения: . Также из этого следует, что график функции симметричен относительно оси ординат.

На основании свойств 3 и 4, можно сделать вывод, что функцию достаточно изучить на промежутке , а далее, используя симметрию относительно оси , получить функцию на участке в период () и далее использовать периодичность (рис. 5).

Приведем пример данного метода.

Рис. 5. Пример построения графика косинуса используя его свойства четности и периодичности

Отрезок , на нем функция убывает от  до . В силу четности, симметрично оси  отражаем часть графика и получаем график функции на отрезке . На нем функция возрастает от  до . В результате мы получили график функции на отрезке длиной в период, этого достаточно, далее используем периодичность и строим график на любом заданном участке.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции достигаются в точках  и . Причем  достигается в точках ,  – любое целое число, а  достигается в точках ,  – любое целое число.

6. Интервалы монотонности функции: рассмотрим интервал, равный периоду функции. Если аргумент возрастает от  до , то функция возрастает от  до . Через период это повторяется: если аргумент возрастает от  до , то функция возрастает от  до  и так далее. Значит, функция монотонно возрастает при , где . Аналогично, функция монотонно убывает при  , где  (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация интервалов монотонности функции косинуса

Рассмотренные свойства функции используются в разных задачах, в том числе в задачах с параметрами.

 

Решение задач

 

 

Задача на смысл множества значений функции.

 

Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

Решение

Перепишем функцию следующим образом: .

Построим в одной системе координат графики функций из левой и правой частей уравнения, а именно:  и , учитывая, что  – это семейство параллельных прямых (рис. 7):

Рис. 7. Графики функций  и  в одной системе координат

Если  или  – никакого пересечения нет и уравнение корней не имеет.

Если , то есть лежит в пределах области значений функции, то есть пересечение с хотя бы одним .

Ответ: .

Задача

Найти число корней уравнения с параметром .

Решение

Решить уравнение с параметром – это «перебрать» все значения параметра и для каждого дать ответ.

Построим график функции косинуса, рассекаем его семейством прямых  (рис. 8).

Рис. 8. Графики функций  и  в одной системе координат, для нахождения числа корней уравнения

Находим точки пересечения, если они есть.

При  – уравнение корней не имеет.

При  – уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Ответ: при  – уравнение имеет бесчисленное множество корней.

Выводы

На данном уроке мы рассмотрели функцию , изучили ее свойства и построили график.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – изд. 5. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. Можно ли построить график косинуса по основным точкам?
2. Охарактеризуйте связь между синусом и косинусом.
3. Верно ли равенство ?
4. Чем отличается монотонно убывающий участок функции от монотонно возрастающего?
5. Имеет ли функция косинуса точки пересечения с функцией синуса? Если да, то выпишите все точки пересечения.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Yaklass.ru (Источник).
2. Интернет-портал Mathematics-tests.com (Источник).
3. Интернет-портал Festival.1september.ru (Источник).