Математика

Решение неравенств

 

Вспомним основные сведения, необходимые для решения неравенств:

 

1. к обеим частям неравенства можно прибавлять или из обеих частей неравенства можно вычитать одно и то же число:

кроме того:

2. обе части неравенства можно умножать или делить на ненулевое число. При этом если число положительное, то знак неравенства не изменяется, если отрицательное – изменяется на противоположный:

кроме того:

3. для положительных чисел  и :

При решении неравенств более сложных, чем линейные, удобно применять метод интервалов. Про него мы вспомним немного позже.

В задачах вам могут встретиться не одно неравенство, а их система или совокупность. Решением системы неравенств является пересечение решений отдельных неравенств, а решением совокупности – объединение решений:

Решения неравенства удобно изображать на координатной оси. При этом если крайняя точка промежутка является решением (см. рис. 1), то ее изображают заполненным кругом, если не является – пустым (выколотым) (см. рис. 2).

Рис. 1. Точка  является решением системы (закрашенный круг)

Рис. 2. Точка  не является решением совокупности (выколотый круг)

При записи ответа возле границы интервала ставят квадратную скобку, если данная точка входит в промежуток, и круглую, если не входит.

 

Задание 1. Дано:

1. оценить значения выражения ;
2. оценить значение выражения ;
3. оценить значение выражения ;

Решение:

1. Воспользуемся свойством:

Для этого представим выражение  в виде суммы:

Здесь мы имеем дело с двойными неравенствами, но свойство от этого не изменится. Оценим сначала отдельно числа  и . Все части двойного неравенства  умножаем на , тогда:

Все части двойного неравенства  умножаем на . Обратите внимание, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства изменятся на противоположные. Следовательно:

Или, «перевернув» неравенство:

Складываем неравенства и упрощаем:

2. Обе переменные, по условию, могут принимать только положительные значения, поэтому можем воспользоваться свойством умножения неравенств:

Здесь у нас двойные неравенства, но суть от этого не изменится. Получим:

Все части неравенства умножаем на , чтобы получить требуемое выражение :

3. Свойства, в котором бы встречалось деление двух неравенств, у нас нет, поэтому представим выражение  в виде произведения:

Оценим сначала отдельно числа  и .

Все части неравенства  умножаем на , тогда:

Для того чтобы оценить , воспользуемся свойством для положительных чисел  и :

Из этого свойства следует: если , то:

Теперь можем воспользоваться свойством для умножения неравенств, как мы это делали в предыдущем пункте, получаем:

Ответ: , , .

 

Задание 2. Решить систему неравенств:

Решение.

Для начала найдем отдельно решения первого и второго неравенства системы.

1. Решим первое неравенство системы:

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому ОДЗ:

Упростим выражение в левой части неравенства, используя формулу сокращенного умножения :

Сократим дробь на . С учетом того, что , это преобразование будет тождественным:

Получаем неравенство:

Изобразим на оси решение неравенства с учетом ОДЗ (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к заданию 2

Получим:

2. Теперь решим второе неравенство системы, используя свойства неравенств:

Для решения необходимо получить переменную  в центральной части неравенства. Для этого сначала вычтем из всех частей неравенства

Затем разделим все части неравенства на :

Таким образом, решение второго неравенства системы:

Для того чтобы найти решение всей системы, изобразим множество решений первого и второго неравенств на одной оси (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к заданию 2

Решением системы является пересечение решений отдельных неравенств (см. рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к заданию 2

Ответ: .

 

Задание 3. Сколько целых решений имеет неравенство:

Решение.

В предыдущем задании мы уже сталкивались с двойным неравенством. Для его решения мы воспользовались свойствами неравенств и смогли оценить неизвестную . Но в данном случае неизвестные содержатся во всех частях неравенства. Поэтому мы не сможем одновременно избавиться от неизвестной и в левой, и в правой частях.

Для решения данного неравенства необходимо вспомнить, что двойное неравенство – это просто короткая запись эквивалентной системы неравенств:

Решим по отдельности каждое неравенство.

1. Первое неравенство:

2. Второе неравенство:

Обратите внимание, что во втором неравенстве знак изменился на противоположный, поскольку было произведено деление на отрицательное число .

Изобразим на оси решения отдельных неравенств (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к заданию 3

Видим, что решением системы неравенств является интервал:

Целыми решениями будут числа  и , которые принадлежат данному интервалу.

Ответ: .

 

Решение неравенств методом интервалов

 

 

Теперь перейдем к решению неравенств методом интервалов. Напомним общий алгоритм:

 

1. привести неравенство к эквивалентному виду ;
2. решить уравнение соответствующее данному неравенству (найти нули функции );
3. разбить ось на интервалы, концы которых являются корнями этого уравнения, а также точки, которые не входят в ОДЗ функции ;
4. выбрать интервалы, на которых знак функции удовлетворяет неравенству.

При выборе нужного интервала удобно использовать метод пробной точки. Для этого необходимо подставить значение одной (любой) точки из данного интервала: если эта точка является решением неравенства, то и весь интервал будет являться решением.

 

Задание 4. Решить неравенство:

Решение.

1. Для начала приведем неравенство к стандартному виду:

Для этого раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

2. Решим соответствующее квадратное уравнение (можно использовать формулу с дискриминантом или теорему Виета):

3. Эти корни разбивают ось на три интервала (см. рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к заданию 4

4. Методом пробной точки определим, какие интервалы являются решением неравенства:

a. Первый интервал . Возьмем пробную точку  и подставим ее в неравенство:

Неравенство верное, интервал является решением, знак левой части неравенства на этом интервале – «плюс».

b. Второй интервал . Возьмем пробную точку  и подставим ее в неравенство:

Неравенство неверное, интервал не является решением, знак левой части неравенства на этом интервале – «минус».

c. Третий интервал . Возьмем пробную точку  и подставим ее в неравенство:

Неравенство верное, интервал является решением, знак левой части неравенства на этом интервале – «плюс» (см. рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к заданию 4

Кроме того, неравенство нестрогое, поэтому точки  и  также являются решениями неравенства. Изобразим решение неравенства на оси (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к заданию 4

Получим:

Вместо метода пробной точки еще можно было изобразить схематически параболу : ветки параболы вверх, поскольку коэффициент при  положительный, функция имеет два нуля:  и  (см. рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к заданию 4

Глядя на функцию, видим, что она принимает неотрицательные значения при следующих значениях :

Ответ: .

 

Задание 5. Решить совокупность неравенств:

Решение.

Решение совокупности неравенств представляет собой объединение решений неравенств, образующих совокупность. Решим отдельно каждое неравенство совокупности.

1. Первое неравенство является линейным, его можно решить эквивалентными преобразованиями:

Решением первого неравенства является промежуток (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию 5

2. Решим второе неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения  с помощью дискриминанта:

 означает, что уравнение не имеет действительных корней. В этом случае часто допускается стандартная ошибка – нет корней, значит, нет решений у неравенства. Корней нет у квадратного уравнения, а нам требуется решить неравенство!

3. Переходим к следующему пункту метода интервалов. Поскольку уравнение не имеет корней, то на оси будет только один интервал:

Нужно проверить, является ли он решением, выбрав пробную точку. Поскольку можно выбрать любую точку интервала, возьмем, например, :

Неравенство верное, значит, интервал  является решением неравенства. Таким образом, решением второго неравенства является .

Изобразим решения обоих неравенств на одной оси (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию 5

Решением совокупности неравенств будет объединение решений неравенств, т. е. промежуток, на котором имеется хотя бы одна штриховка.

Ответ: .

Задание 6a. Решить неравенство методом интервалов:

Решение.

Рассмотрим функцию .

1. Область определения функции:

2. Нули функции, т. е. корни соответствующего уравнения :

Произведение равно  только тогда, когда хотя бы один из множителей равен .

3. Отметив эти точки на оси, получим четыре интервала, внутри каждого из которых функция не меняет свой знак (см. рис. 13). Так называемые интервалы знакопостоянства.

Рис. 13. Иллюстрация к заданию 6a

4. Определим знак функции на каждом интервале методом пробной точки:

a. при : ;

b. при : ;

c. при : ;

d. при :  (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к заданию 6a

Возвращаемся к неравенству. Нас интересуют положительные значения функции. Тогда:

Ответ: .

 

Алгоритм для определения знаков на интервалах

 

 

Вы можете обратить внимание, что знаки на интервалах чередуются. Почему так? Если схематически изобразить график функции, то получим следующее (см. рис. 15).

 

Рис. 15. Схематический график функции

Видим, что в нулях функция меняет свой знак на противоположный. Т. е. в данном случае достаточно было определить знак функции лишь на одном интервале, а остальные знаки можно было расставить автоматически.

Всегда ли в нуле функции ее знак меняется на противоположный? Нет, например, для параболы  это не так (см. рис. 16).

Рис. 16. График функции  – парабола

Нулем функции является , но что слева, что справа от нуля функция положительна. Здесь чередования знаков происходить не будет, поскольку выражение  всегда неотрицательно, оно может быть лишь одного знака «плюс».

Можем сделать практический вывод: если множитель с соответствующим нулем функции стоит в четной степени, то в этом нуле функция менять знак не будет.

Итак, для определения знаков на интервалах вместо метода пробной точки можно использовать следующий алгоритм:

1. определить методом пробной точки знак на одном интервале;
2. знаки на других интервалах будут чередоваться, кроме тех случаев, когда множитель, соответствующий данной границе интервала, может быть лишь одного знака (в частности, если соответствующие множители стоят в четной степени).

Разберем этот алгоритм на примере.

 

Задание 6b. Решить неравенство методом интервалов:

Решение.

Рассмотрим функцию .

1. Область определения функции:

2. Нули функции:

3. Отметим на оси данные точки; получим интервалы знакопостоянства (см. рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к заданию 6b

4. Определим знак функции на каждом интервале методом одной пробной точки. Проверим знак функции на интервале  – возьмем точку :

Знаки на остальных интервалах будут чередоваться, кроме:

a. перехода через точку , поскольку соответствующий множитель  может быть лишь одного знака (неотрицательный) – скобка в четной степени.

b. перехода через точку , поскольку соответствующий множитель  также всегда неотрицательный (см. рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к заданию 6b

Чтобы проверить себя, можно дополнительно выбрать точки на каждом интервале и убедиться, что знаки функции определены правильно.

Определим множество решений. Нам подходит лишь один интервал:

Но еще нужно учесть, что знак неравенства нестрогий, поэтому нам подходят также нули функции, точки, в которых функция обращается в ноль:

Тогда:

Ответ: .

Обратите внимание, что точки  мы включили в границу промежутка, а точки  перечислили отдельно, в фигурных скобках через точку с запятой (иногда такие точки называют висячими – про них важно не забывать при записи ответа).

С решением еще нескольких неравенств вы можете ознакомиться ниже.

---

 

Решение более сложных неравенств

Задание 1. Решить неравенство:

Решение.

Рассмотрим функцию:

1. Область определения функции:

2. Нули функции:

Уравнение  не имеет корней. Более того, множитель  всегда положительный по определению модуля:

3. Отметим интервалы знакопостоянства (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к заданию 1

4. Определим знак функции на каждом интервале методом одной пробной точки. Знаки не будут чередоваться при переходе через точку , т. к. множитель  всегда неотрицателен.

Проверим знак функции на интервале . Возьмем точку  (см. рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к заданию 1

Учтем, что знак неравенства нестрогий, поэтому нам подходят также нули функции – точки, в которых функция обращается в ноль:

Выберем по рисунку множество решений:

 

Что эквивалентно следующему интервалу:

Ответ: .

 

Задание 2. Решить неравенство:

Решение.

Рассмотрим функцию:

1. Область определения функции:

2. Преобразуем выражение:

3. Нули функции:

( не является нулем функции, т. к. не входит в область определения).

4. Отметим интервалы знакопостоянства (см. рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к заданию 2

5. Определим знак функции на каждом интервале методом одной пробной точки.

Знаки не будут чередоваться при переходе через точку , т. к. множитель  всегда неотрицателен.

Проверим знак функции на интервале . Возьмем точку  (см. рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к заданию 2

Выберем по рисунку множество решений:

Что эквивалентно следующему интервалу:

Ответ: .

---

Задание 7. Определить сумму целых решений неравенств:

Решение.

Рассмотрим функцию:

1. Область определения функции:

2. Нули функции:

3. Отметим интервалы знакопостоянства (см. рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к заданию 7

4. Определим знак функции на каждом интервале методом одной пробной точки. Остальные знаки будут чередоваться, т. к. отсутствуют множители постоянного знака. Проверим знак функции на интервале  – возьмем точку  (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к заданию 7

Выберем по рисунку множество решений:

Целыми решениями будут числа  и , которые принадлежат данному интервалу. Обратите внимание, что концы интервала  и  не являются решениями неравенства, т. к. неравенство имеет строгий знак и область определения функции: . Необходимо найти сумму целых решений. Получаем ответ:

Ответ: .

Рассмотрим еще один пример, в котором нужно не решить неравенство, а доказать его для любых значений переменных.

 

Задание 8. Доказать, что для любых :

Доказательство.

Идея доказательства неравенства обычно состоит в том, чтобы свести его эквивалентными преобразованиями к виду неравенства, которое доказывать уже не нужно. В частности, не нужно доказывать, что , где  может быть любым выражением. В данном случае видно, что в неравенстве можно применить формулы сокращенного умножения.

Раскроем скобки в правой части неравенства и представим, как :

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было выделить полные квадраты:

Т. к. квадраты чисел являются неотрицательными величинами, то для любых :

Сложив эти неравенства, получим неравенство, которое верно для любых :

Доказано.

 

Заключение

На этом уроке мы потренировались решать различные линейные и квадратные неравенства, их системы и совокупности; а также дробно-рациональные неравенства методом интервалов.

 

Список литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал cleverstudents.ru (Источник)
3. Интернет-портал edu.alnam.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Найти область определения выражения:

2. Решить неравенство:

3. Решить систему неравенств: