Математика
Тема 15: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Профильный уровеньУрок 9: Угол между векторами
- Теория
Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Раздел 3. Скалярное произведение векторов
Урок: Угол между векторами
1. Определение угла между векторами
Пусть даны ненулевые векторы 
и 
.
Определить и построить угол между векторами.
Построение:
Выбираем произвольную точку O и от нее откладываем вектор 
и вектор 
. Полученный угол AOB и называется углом между векторами.
Естественно, возникает вопрос: что будет, если взять другую точку?
Выберем точку 
, отличную от точки О, отложим от нее 
и 
.
Углы AOB и 
равны как углы с соответственно параллельными сторонами. Значит, угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой откладываются данные вектора.
Если один из векторов нулевой, например, 
, то 
.
Итак, мы определили угол между векторами и рассмотрели его построение.
2. Пределы изменения угла между векторами
А в каких пределах может изменяться угол между векторами? В отличие от угла между прямыми, угол между векторами может быть тупым. Проиллюстрируем это на примере.
Пример. Дано: p, q – прямые;
векторы.
Построить: угол между векторами 
и угол между прямыми 
.
Построение: Выберем произвольную точку О, проводим 
и 
. От точки О откладываем вектор и вектор .
тупой;
стрый.
Угол между векторами может изменяться в следующих пределах: 
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1. Векторы и 
перпендикулярны.
2. Векторы и противоположно направлены.
3. Векторы и сонаправлены.
3. Примеры определения угла между векторами
Рассмотрим конкретные примеры нахождения угла между векторами.
Пример: Дан равносторонний треугольник АВС. Найти:
а) 
;
б) 
в) 
.
Решение:
а) Выбираем удобную точку и от нее откладываем вектора. Такая точка у нас уже есть – это точка А.
по свойству углов равностороннего треугольника.
б) Выбираем удобную точку, например, точку А. откладываем вектор 
, тогда 
.
в) Угол между прямыми 
как наименьший из углов, образованных при пересечении этих прямых.
Рассмотрим еще несколько примеров нахождения углов между векторами в равностороннем треугольнике АВС.
г) 
;
д) 
;
е) 
ж) 
Решение:
г) Векторы 
и 
противоположно направлены, поэтому 
д) Векторы и 
сонаправлены, 
е) Векторы 
и 
противонаправлены, 
ж) Векторы и 
сонаправлены, 
4. Напоминание правил сложения векторов и умножения вектора на число
Перед тем, как рассмотреть определение скалярного произведения векторов, напомним, какие действия мы уже умеем выполнять над векторами:
1. Сложение векторов.
правило треугольника.
2. Умножение вектора на число.
Вектор 
сонаправлен вектору и 
Вектор 
противонаправлен вектору и 
5. Определение скалярного произведения векторов
Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.
Поясним понятие скалярного произведения на физическом примере.
Сила 
действует на вагонетку, вагонетка стоит на рельсах. Работа совершается не всей силой , а только ее частью – проекцией на ось 
. Эта проекция равна 
, таким образом работа определяется формулой 
Итак, скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение – это характеристика взаимного расположения векторов.
Рассмотрим перпендикулярные векторы и , угол между ними равен 
, значит, 
ненулевые векторы.
Мы сформулировали два утверждения – прямое и обратное:
1. Прямое – если 
, то 
.
2. Обратное – если , то .
6. Решение задач на определение угла между векторами и скалярного произведения векторов
Задача. Диагонали квадрата со стороной m пересекаются в точке О.
Найти:
а) угол между векторами;
б) скалярное произведение векторов:
1. 
и 
Решение: Известно, что диагональ квадрата со стороной m равна 
.
2. 
а) 
б) 
3. и 
Решение: 
а) 
б) 
4. 
и 
Решение: 
а) и 
противонаправлены, 
б) 
5. 
и 
Решение:
а) Для определения угла между векторами нужно найти удобную точку, от которой будут отложены вектора, например, можно выбрать точку D.
б) 
7. Заключение
Итак, на этом уроке были рассмотрены угол между векторами и скалярное произведение векторов, решены соответствующие задачи. На следующем уроке мы продолжим изучать скалярное произведение векторов.
Список литературы
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
- Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1039, 1040.
