Математика

Тема 15: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Профильный уровень

Урок 12: Решение задач по теме раздела

Теория

Заметили ошибку?

Повторение

Вспомним определение: скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними: .

Как видим, это некоторая характеристика взаимного расположения векторов, потому что участвует угол между ними: .

Рассмотрим несколько частных случаев.

1) Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: .

Доказать это несложно: чтобы произведение равнялось , один из множителей должен равняться . Так как векторы ненулевые, то нулю должен равняться косинус угла между ними:.

2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора:

Проекция вектора

Скалярное произведение векторов тесно связано с проекцией векторов друг на друга. Вспомним определение: проекция вектора на вектор () – это произведение длины вектора и косинуса угла между векторами.

Аналогично можно записать определение проекции вектора на вектор : .

Подчеркнем, что проекция – это число, знак которого зависит от знака (если 𝜑 – тупой угол, то – отрицательный и проекция – отрицательное число).

Скалярное произведение можно записать с помощью проекции векторов.

Отсюда можно выразить проекции и :

Таким образом, если мы научимся вычислять скалярное произведение, то сможем находить проекции векторов друг на друга.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Разложим вектор по двум неколлинеарным векторам и . Векторы и неколлинеарные, значит, между ними ненулевой угол (то есть они не лежат на одной прямой или на параллельных прямых).

Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным

Любой вектор разлагается по неколлинеарным векторам и следующим образом: , причём существует единственная такая пара чисел и (такое разложение единственное).

Доказательство

Если из точки опустить прямые, параллельные и , то получим вектор , который коллинеарен вектору , тогда , и вектор , который коллинеарен вектору , тогда (Рис. 1).

Рис. 1. Разложение вектора по двум неколлинеарным

По правилу параллелограмма или треугольника получаем следующее выражение:

Несложно доказать, что такое разложение единственно методом от противного. Пусть таких разложения два: . Тогда .

Тогда (если ), получили, что , но векторы и – ненулевые и неколлинеарные, получили противоречие. Если же , то . Так как вектор не может быть нулевым, то . Как видим, в любом случае существует единственное разложение вектора по двум неколлинеарным.

В задачах мы будем использовать доказанную теорему следующим образом:

1) выбираем удобную пару векторов и ();

2) выражаем через них искомые (или другие нужные нам) векторы;

3) используем формулу и получаем ответ.

Решение задач

В правильном треугольнике сторона равна , точка – середина отрезка , точка – середина отрезка (Рис. 2).

Рис. 2. Рисунок к условию задачи

Найти:

1) Выразить вектор через векторы и .

2) – ?

3) – ?

4) – ?

5) проекцию вектора на вектор () и проекцию вектора на вектор ().

Задача 1

Дано:

Выразить вектор через векторы и .

Решение

Для начала выразим вектор через векторы и .

Векторы и равны по длине и противоположны по направлению. Из этого следует, что .

Ответ:.

Задача 2

Дано:.

Найти: – ?

Решение

Вспомним, что . Найдем скалярное произведение векторов и :

Ответ:.

Задача 3

Дано:.

Найти: – ?

Решение

Ответ:.

Задача 4

Дано:.

Найти: – ?

Решение

Можно сделать вывод, что угол – тупой, поскольку .

Ответ: .

Задача 5

Дано:.

Найти: проекцию вектора на вектор () и проекцию вектора на вектор ().

Решение

Ответ:.

Список рекомендованной литературы

Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Домашнее задание