ЕГЭ Математика

Тема 2: Алгебра

Урок 1: Простейшие тригонометрические уравнения

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — это уравнения вида:

$\sin (x) = a;$

$\cos (x) = a;$

$t g (x) = a;$

$c t g (x) = a$ , где х – угол, а a – произвольное число.

Графическое обоснование решения уравнения $\sin (x) = a$

Значения на круге х₁ и х₂ - искомые.

Период $2 π n$ , где n – целое число кругов.

$x 1 = \arcsin α + 2 π n, n є Z$

$x 2 = π - \arcsin α + 2 π n, n є Z .$

Пример 1

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

$x 1 = \arcsin \frac{1}{3} + 2 π n, n є Z$

$x 2 = π - \arcsin \frac{1}{3} + 2 π n, n є Z$

Пример 2

$\sin (x) = 1$

$x = \frac{π}{2} + 2 πn, n ϵ Z$

Ответ: $x = \frac{π}{2} + 2 πn, n ϵ$

Решение уравнения $\sin (x) = a$

Первая форма записи решения

$x 1 = \arcsin (a) + 2 π n, n є Z$

$x 2 = –arcsin (a) + π + 2 π n, n є Z$

Вторая форма записи решения

$x = (- 1) n \arcsin (a) + π n, n є Z$

Ограничения на число a

$а [- 1; 1]$

Графическое обоснование решения уравнения $\cos (x) = a$

Обычная форма записи решения	$x = \pm \arccos (a) + 2 πn, n є Z$
Ограничения на число a	$а [- 1; 1]$

Пример 1

$с os (x) = 2$

Уравнение не имеет решений, так как а не удовлетворяет ограничениям.

Ответ: нет решений

Пример 2

$с o s (x) = \frac{1}{2}$

$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 πn, n є Z$

$x = \pm + 2 πn, n є Z$

Ответ: $x = \pm + 2 πn, n є Z$

Графическое обоснование решения уравнения $tg (x) = a и сtg (x) = а$

Обычная форма записи решения $tg (x) = а$	$x = arctg (a) + πn, n є Z$
Обычная форма записи решения $сtg (x) = а$	$x = arcctg (a) + πn, n є Z$
Ограничения на число а	Ограничений нет

Пример 1

$ctg (x) = 3$

$x = arcctg (3) + πn, n є Z$

Ответ: $x = arcctg (3) + πn, n є Z$

Пример 2

$tg (x) = 1$

$x = arctg (1) + πn, n є Z$

$arctg (1) = \frac{π}{4}$

$x = \frac{π}{4} + π n, n є Z$

Ответ: $x = \frac{π}{4} + π n, n є Z$

Вернуться к теме Урок 2