ЕГЭ Математика

Тригонометрия в геометрии

Тригонометрические функции и отношение соответствующих элементов в прямоугольном треугольнике:

Задача №1

В треугольнике ABC c углом С, равным 90°, гипотенуза AB = 17, а катет AC = 15. Найдите все тригонометрические функции угла А и В.

Решение

$\sin B=\frac{\mathrm{прот}.\mathrm{кат}.}{\mathrm{гип}.}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{15}{17}$

$\cos B=\frac{\mathrm{прил}.\mathrm{кат}.}{\mathrm{гип}.}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{8}{17}$

 $\mathrm{ }\mathrm{tg}B=\frac{\mathrm{прот}.\mathrm{кат}.}{\mathrm{прил}.\mathrm{кат}.}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{15}{8}$

$c\mathrm{tg}B=\frac{\mathrm{прил}.\mathrm{кат}.}{\mathrm{прот}.\mathrm{кат}.}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{8}{17}$

$\mathrm{ }\sin A=\frac{\mathrm{прот}.\mathrm{кат}.}{\mathrm{гип}.}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{8}{17}$

Выводы:

$\cos B=\sin A$.

$\cos A=\sin B$, $\mathrm{tg}B=\mathrm{ctg}A$ и $\mathrm{tg}A=\mathrm{ctg}B$.

Теорема косинусов: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними»:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

Задача №2

В треугольнике ABC, AC = 3, BC = 5, AB = 6. Найдите cos(∠ACB).

Решение

$A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2-2AC\cdot CB\cdot \cos \angle ACB$

$6^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos \angle ACB$

$\begin{array}{l}36=9+25-30\cdot \cos \angle ACB\\ 36=34-30\cdot \cos \angle ACB\\ 2=-30\cdot \cos \angle ACB\\ \cos \angle ACB=-\frac{1}{15}\end{array}$

Ответ : $-\frac{1}{15}$

Теорема синусов:«Отношения сторон треугольника к синусам противоположных им углов равны. Это отношение равно 2R, где R — радиус описанной окружности»:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$