ЕГЭ Математика

Трапеция

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и обязательно не равны.

Элементы трапеции

1. два основания, при этом они обязательно параллельны и не равны;
2. средняя линия: равна полусумме оснований: $m=\frac{a+b}{2}$ и параллельна им: m ‖ a и m ‖ b
3. высота – расстояние между основаниями.

Виды трапеций

1. Прямоугольная трапеция – это трапеция у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.
2. Равнобедренная трапеция, как равнобедренный треугольник, у неё боковые стороны равны.
3. Произвольная трапеция – не является ни прямоугольной, ни равнобедренной.

Свойства трапеции

1. Сумма углов трапеции равна 360º.
2. Так как основания трапеции параллельны, то сумма углов, прилежащих к боковой стороне будет равна 180º (потому что эти углы будут односторонними при параллельных прямых и секущей).

Площадь трапеции

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

   $S=\frac{a+b}{2}\bullet h$

2. Площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на её высоту:

   $S=\mathit{m}\bullet h$

3. Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей на синус острого угла между ними:

   $S=\frac{1}{2}\bullet d1\bullet d2\bullet \sin \left(a\right)$

Задача №1. Найдите среднюю линию трапеции с основаниями 15 и 27.

$m=\frac{a+b}{2}=\frac{15+27}{2}=\frac{42}{2}=21$

Ответ: 21

Задача №2. Основания равнобедренной трапеции равны 15 и 35, а ее периметр равен 102. Найдите площадь трапеции.

$AD=\frac{P-(AB+DC)}{2}=\frac{102-(15+35)}{2}=\frac{52}{2}=26$

$AH=\frac{AB-DC}{2}=\frac{35-15}{2}=\frac{20}{2}=10$

$S=\frac{DC+AB}{2}\cdot DH$

$S=\frac{35+15}{2}\cdot 24=600$

Ответ: 600