ЕГЭ Математика

Окружность

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки.

Элементы окружности:

1. центр окружности – это та самая точка, от которой равноудалены все точки окружности.
2. радиус окружности – отрезок, соединяющий точку окружности с центром.
3. диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.
4. хорда – отрезок, соединяющий две абсолютно любые точки окружности.

Теорема о хордах:

АМ · ВМ = СМ · DМ

Формулы:

1. Длина окружности $С=2\pi R$ , где R – радиус окружности, или $С=\pi D$ , где D – диаметр

2. Площадь круга $S=\pi R^2$ , де R – радиус круга

Прямые к окружности

1. касательная – это прямая которая имеет с окружностью ровно одну общую точку.

   • - касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания;

   • - отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны до точек касания с окружностью.

2. секущая – это прямая, которая пересекает окружность. Отрезок секущей, заключённый внутри окружности, – это хорда.

   • - квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

Углы в окружности

1. вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются её хордами.
2. центральный угол – угол, образованный двумя радиусами с вершиной в центре.

Свойства углов в окружности

• Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны;
• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается;
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой;
• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается;
• Центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же самую дугу.

Задача №1

Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $\frac{1}{8}$ окружности.

Ответ дайте в градусах.

Решение:

$\frac{1}{8}$ от окружности: $\frac{1}{8}\cdot 360°=45°$

Вписанный угол равен половине центрального, получаем 22,5º.

Ответ: 22,5°

Задача №2

Найдите хорду, на которую опирается угол 30°, вписанный в окружность радиуса 8.

Решение:

Центральный угол равен 60º и образован радиусами, треугольник равносторонний, хорда также равна 8.

Ответ: 8