Физика

Задача 1

 

Сегодня мы потренируемся решать задачи по теме «Электричество» и применять модели для описания электрического поля, законы постоянного тока, в том числе с учетом источника, а также модели протекания тока в разных средах. При решении задач мы будем придерживаться нашей стандартной схемы, которую мы применяем к задачам курса физики:

 

1. Проанализировать условие. Определить, какие процессы происходят.
2. Определить закономерности, которым подчиняются происходящие процессы, записать эти закономерности в виде уравнений, выбрать систему координат. Посмотреть на величины, входящие в эти формулы: определить, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить. При необходимости перевести величины в СИ.
3. Математическая часть: решаем полученную систему уравнений. Получаем ответ, подставив численные значения переменных.

Задача 1. Заряды +q и -q расположены так, как показано на рис. 1. Еще один заряд +q помещают сначала в точку C, затем в точку D. Найдите отношение сил (по модулю), которые действуют на заряд в этих точках, если AD = AC = BC.

Рис. 1. Условие задачи 1

Анализ условия. Описаны неподвижные заряды, которые взаимодействуют между собой. К ним применима модель точечных зарядов, никаких особенностей, связанных с формой тел, на находим, поэтому будем описывать взаимодействие с помощью закона Кулона. Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции, поэтому силы, с которыми первый и второй заряд действуют на третий, будем складывать.

Договорились применять закон Кулона, это будет физическая часть решения задачи. Поместим заряд в точку С. Положительный заряд А будет его отталкивать, отметим на рис. 2 силу, обозначим ее , а заряд В – притягивать, отметим силу .

Рис. 2. Силы  и 

Силы сонаправлены, нас интересует модуль равнодействующей F_C, он равен сумме F_AC и F_BC. По закону Кулона, модуль силы F_AC равен:

Расстояние между зарядами обозначили как r. Аналогично,

Теперь поместим заряд в точку D. Заряд A его отталкивает, и расстояние до него равно r. Отметим силу на рис. 3 и запишем модуль:

Рис. 3. Силы F_AD и F_BD

А до заряда B расстояние теперь равно 3r. Поэтому сила F_BD равна:

Силы направлены в противоположные стороны, поэтому модуль равнодействующей запишем просто как модуль их разности:

Выражения для всех сил записаны, осталась математика: все подставить и найти отношение .

Получили ответ, в точке C на заряд действует сила, в 2,25 раз бóльшая, чем в точке D, задача решена.

 

Задача 2

 

 

Задача 2. Электрон разгоняется в однородном электрическом поле, созданном двумя плоскими электродами, в вакууме. Какой должна быть разность потенциалов на электродах, чтобы электрон, двигаясь из состояния покоя от одного электрода, столкнулся со вторым электродом на скорости 2 000 км/с?

 

Проанализируем условие. На электрон в электрическом поле действует сила, и он движется с ускорением. Мы можем описывать это движение законами механики. Удобно применить к этому движению модель энергии, как раз речь идет о разности потенциалов – энергетической характеристике поля. Применим выбранную модель, это физическая часть решения (рис. 4).

Рис. 4. Условие задачи 2

Электрическое поле потенциально, значит, работа электрического поля по перемещению заряда равна увеличению кинетической энергии электрона. Работа поля равна  (разность потенциалов – это то же, что напряжение), а кинетическая энергия изменилась от нуля до . Запишем:

Заряд электрона отрицательный, но, по условию, он разгоняется, значит, поле ориентировано так, что работа поля точно положительна, будем брать модуль заряда и разности потенциалов. Все дано, массу и заряд электрона можно найти в справочнике, остались вычисления.

Подставим, переведя величины в СИ:

Как видите, когда электрону ничего не препятствует и он движется в вакууме, уже при небольшом напряжении он разгоняется до таких больших скоростей. А наша задача решена, запишем ответ.

 

Задача 3

 

 

Задача 3. Плоский конденсатор состоит из двух пластин, площадь каждой пластины 20 см². Между пластинами находится слой стекла. Пробой конденсатора происходит при напряженности поля 10 МВ/м. Какой наибольший заряд можно накопить на этом конденсаторе?

 

Проанализируем условие. В задаче описан плоский конденсатор, формулу для емкости плоского конденсатора мы знаем. Речь идет о пробое конденсатора: при такой напряженности поля стекло начинает проводить ток и разрушается, то есть конденсатор не работает при напряженности поля большей, чем 10 МВ/м. Рассмотрим граничный случай (рис. 5).

Рис. 5. Условие задачи 3

Перейдем к физической части решения. По определению, электроемкость конденсатора равна:

У нас в определении фигурирует напряжение, а по условию задана напряженность поля. Поле между плоскими пластинами можно считать однородным, а для однородного поля справедливо отношение:

d – расстояние между пластинами (помните: напряженность измеряется в вольтах на метр – проще запомнить). Электроемкость плоского конденсатора с диэлектриком между пластинами равна:

 – это диэлектрическая проницаемость стекла. Находим в справочнике, в зависимости от сорта стекла она равна от 4 до 16. В задаче об этом ничего не сказано, возьмем среднее, 10. Получили простую систему уравнений, которую осталось решить. Приравняем C из первого и третьего уравнения:

Выразим из второго уравнения напряжение U и подставим:

Осталось выразить заряд:

Подставим значения, переведя в СИ:

Задача решена, ответ: 1,77 мкКл.

 

Задача 4

 

 

Задача 4. Сопротивление вольфрамовой нити накаливания лампы при температуре  равно 20 Ом. При включении лампы в бытовую сеть с напряжением 220 В сила тока через лампу равна 1 А. Найдите температуру накала нити. Сравните, во сколько раз мощность, потребляемая лампой в первое мгновение после включения, больше, чем мощность лампы в стандартном режиме работы.

 

Проанализируем условие. Описана лампа в двух состояниях: при комнатной температуре и в раскаленном состоянии во время работы. При изменении температуры проводников (а вольфрам – это проводник) их сопротивление изменяется, мы записывали эту зависимость (рис. 6).

Рис. 6. Условие задачи 4

Напряжение, сопротивление и силу тока мы связываем законом Ома для участка цепи. Причем напряжение не меняется, оно определяется сетью, 220 В. Разберемся, что происходит с мощностью. Мощность мы вычисляем по формулам:

от одной к другой переходим, используя закон Ома. Так как температуры лампы в момент включения и во время работы сильно отличаются, а значит, отличаются и сопротивления, то будет отличаться и потребляемая мощность – ее в эти два момента и нужно сравнить.

Запишем математически закономерности, которые мы обсудили, – это будет физическая часть решения. Обозначим сопротивление лампы при комнатной температуре R₀, тогда в раскаленном состоянии сопротивление равно:

Где  – это температурный коэффициент сопротивления вольфрама, найдем его в справочнике, а  – это разность температур между комнатной и рабочей, разность можем выражать в градусах Цельсия:

Сопротивление нити в раскаленном состоянии выразим через напряжение и силу тока по закону Ома для участка цепи:

Теперь применим к двум состояниям лампы уравнения для мощности. В охлажденном состоянии нам известно сопротивление лампы, и ее включили в сеть с напряжением U = 220 В. Удобно использовать уравнение:

А в накаленном состоянии напряжение то же, и мы знаем силу тока, поэтому удобно использовать уравнение:

Получили систему из простых уравнений, которые осталось решить, сделаем это в ответвлении.

---

 

Математическая часть решения задачи 4

Получили систему уравнений:

Подставим разность температур из второго уравнения и сопротивление накаленной нити из третьего уравнения в первое:

Все величины известны, выразим температуру накала:

Сразу подставим известные значения и вычислим:

Теперь найдем отношение мощностей из четвертого и пятого уравнений системы:

Вычислим:

Получили, что в момент включения мощность лампы в 11 раз больше, чем потом, когда нить накаляется. Все логично, в первые мгновения выделяемая мощность не только на свечение, но и на нагрев самой лампы. А потом уже в 11 раз меньшая мощность выделяется в виде световой энергии и теплоты в окружающее пространство, а температура самой лампы стабилизируется. А ответы на вопросы задачи готовы, задача решена.

---

 

Задача 5

 

 

Задача 5. Масса алюминиевого провода 540 г, а его сопротивление – 5,6 Ом. Найдите его длину и площадь поперечного сечения (рис. 7).

 

Рис. 7. Условие задачи 5

Проанализируем условие. В задаче описан алюминиевый провод с известным сопротивлением, и нас интересуют его геометрические параметры – длина и площадь поперечного сечения. У нас есть уравнение для связи сопротивления с геометрическими параметрами, будем его применять.

Речь также идет о массе провода – как свести ее тоже к геометрическим параметрам? Мы когда-то для удобства вводили понятие плотности вещества, это, по определению, масса, деленная на объем. А объем уже легко связать с длиной и площадью поперечного сечения, считая провод цилиндрическим.

Перейдем к физической части решения, запишем выбранные соотношения. Сопротивление проводника равно:

Обычно и удельное сопротивление, и плотность обозначают одной и то же буквой, и, чтобы не было путаницы, добавим индексы:  – удельное сопротивление, а  – плотность. Оба этих параметра для алюминия можно найти в справочнике. По определению, плотность равна:

А объем цилиндра равен:

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными – нам нужно найти два из них. Математическую часть решения задачи вы найдете в ответвлении.

---

 

Математическая часть решения задачи 5

Получили систему уравнений:

Подставим объем из третьего уравнения во второе:

Выразим отсюда площадь сечения провода:

И подставим ее в первое уравнение:

Выразим длину провода:

Подставим значения, переведя их в СИ:

Теперь выразим площадь сечения из одного из предыдущих уравнений, уже имея известную длину:

Вычислим:

Или, в квадратных миллиметрах, это будет 1 мм². Задача решена.

---

 

Задача 6

 

 

Задача 6. Лампочки, сопротивления которых равны 3 и 12 Ом, поочередно подключенные к некоторому источнику тока, потребляют одинаковую мощность. Найдите внутреннее сопротивление источника.

 

Рис. 8. Условие задачи 6

Проанализируем условие. В задаче описана цепь, состоящая из одной лампочки и источника. Лампы меняются, но на описание схемы это не влияет, каждый раз будем использовать закон Ома для полной цепи (у нас даже в условии упомянуто внутреннее сопротивление источника, то есть источник не идеальный).

Для мощности лампочек будем применять одно из следующих уравнений, какое будет удобнее:

Перейдем к физической части решения. Начертим схему с первой лампочкой, ее сопротивление обозначим R₁ (см. рис. 8). Применим закон Ома для полной цепи:

С другой лампочкой схема будет выглядеть так же (см. рис. 8), параметры источника те же, но поменяется сопротивление лампочки, а значит, и сила тока. Запишем:

У нас фигурируют сопротивления лампочек и силы тока через них, поэтому удобно использовать уравнение для мощности . Запишем, что мощность лампочки в первой схеме равна мощности во второй:

На этом физика закончилась, осталась математика – решим полученную систему уравнений в ответвлении.

---

 

Математическая часть решения задачи 6

Решим систему уравнений:

Разделим первое уравнение на второе:

Найдем из третьего уравнения это же отношение, .

Приравняем полученные отношения :

Возведем обе части в квадрат и преобразуем:

Раскроем скобки:

Выразим :

Вычислим:

Как видим, внутреннее сопротивление источника велико, даже больше, чем сопротивление одной из лампочек. Конечно, такой источник не будет поддерживать одинаковое напряжение на лампочках. А ответ получен, задача решена.

---