Физика

Перемещение при равноускоренном движении

 

Вспомним основные определения прошлого урока:

 

• равноускоренным называют такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени изменяет свою скорость на одинаковую величину;
• ускорением называют отношение изменения скорости тела ко времени, за которое это изменение произошло;
• закон изменения скорости от времени и проекции скорости от времени для равноускоренного движения:

(t) =  + t

(t) = V_0x + a_xt

Если мы знаем закон, по которому меняется скорость со временем либо проекция скорости со временем при равноускоренном движении, как же нам получить закон, по которому меняется проекция перемещения со временем? Для этого вспомним, какой вид имеет график зависимости проекции скорости от времени при равноускоренном и равномерном движении (рис. 1):

Рис. 1. Графики зависимости скорости от времени при равноускоренном и равномерном прямолинейном движениях (Источник)

При равноускоренном движении график имеет вид прямой линии, уходящей вверх, так как его проекция ускорения больше нуля.

При равномерном прямолинейном движении площадь численно будет равна модулю проекции перемещения тела. Оказывается, этот факт можно обобщить для случая не только равномерного движения, но и для любого движения, то есть показать, что площадь под графиком численно равна модулю проекции перемещения. Это делается строго математически, но мы воспользуемся графическим способом.

 

Рис. 2. График зависимости скорости от времени при равноускоренном движении (Источник)

Разобьем график проекции скорости от времени для равноускоренного движения на небольшие промежутки времени Δt. Предположим, что они так малы, что на их протяжении скорость практически не менялась, то есть график линейной зависимости на рисунке мы условно превратим в лесенку. На каждой ее ступеньке мы считаем, что скорость практически не поменялась. Представим, что промежутки времени Δt мы сделаем бесконечно малыми. В математике говорят: совершаем предельный переход. В этом случае площадь такой лесенки будет неограниченно близко совпадать с площадью трапеции, которую ограничивает график V_x (t). А это значит, что и для случая равноускоренного движения можно сказать, что модуль проекции перемещения численно равен площади, ограниченной графиком V_x (t): осями абсцисс и ординат и перпендикуляром, опущенным на ось абсцисс, то есть площади трапеции ОАВС, которую мы видим на рисунке 2.

Задача из физической превращается в математическую задачу – поиск площади трапеции. Это стандартная ситуация, когда ученые физики составляют модель, которая описывает то или иное явление, а затем в дело вступает математика, которая обогащает эту модель уравнениями, законами – тем, что превращает модель в теорию.

Находим площадь трапеции: трапеция является прямоугольной, так как угол между осями – 90⁰, разобьем трапецию на две фигуры – прямоугольник и треугольник. Очевидно, что общая площадь будет равна сумме площадей этих фигур (рис. 3). Найдем их площади: площадь прямоугольника равна произведению сторон, то есть V_0x · t, площадь прямоугольного треугольника будет равна половине произведения катетов – 1/2АD·BD, подставив значения проекций, получим: 1/2t·( V_x - V_0x), а, вспомнив закон изменения скорости от времени при равноускоренном движении: V_x (t) = V_0x + а_хt, совершенно очевидно, что разность проекций скоростей равна произведению проекции ускорения а_х на время t, то есть V_x - V_0x= а_хt.

Рис. 3. Определение площади трапеции

Учитывая тот факт, что площадь трапеции численно равна модулю проекции перемещения, получим:

S_х(t) = V_0xt + а_хt²/2

Мы с вами получили закон зависимости проекции перемещения от времени при равноускоренном движении в скалярной форме, в векторной форме он будет выглядеть так:

(t) = t +  t² / 2

 

Уравнение координаты. Примеры

 

 

Выведем еще одну формулу для проекции перемещения, в которую не будет входить в качестве переменной время. Решим систему уравнений, исключив из нее время:

 

S_x(t) = V_0xt+ а_хt²/2

V_x(t) = V_0x + а_хt

Представим, что время нам неизвестно, тогда выразим время из второго уравнения:

t = (V_x - V_0x)/а_х

Подставим полученное значение в первое уравнение:

Получим такое громоздкое выражение, возведем в квадрат и приведем подобные:

Мы получили очень удобное выражение проекции перемещения для случая, когда нам неизвестно время движения.

Пусть у нас начальная скорость автомобиля, когда началось торможение, составляет V₀ = 72 км/ч, конечная скорость V = 0, ускорение а = 4 м/с² . Узнаем длину тормозного пути. Переведя километры в метры и подставив значения в формулу, получим, что тормозной путь составит:

S_x= 0 - 400(м/с)² / -2 · 4 м/с² = 50 м

Проанализируем следующую формулу:

S_x = ( V_0x + V_x) / 2 · t

Проекция перемещения– это полусумма проекций начальной и конечной скоростей, умноженная на время движения. Вспомним формулу перемещения для средней скорости

S_x = V_ср · t

В случае равноускоренного движения средняя скорость будет:

V_ср = ( V₀ + V_к) / 2

Мы вплотную подошли к решению главной задачи механики равноускоренного движения, то есть получению закона, по которому меняется координата со временем:

х(t) = х₀ + V_0x t + а_хt²/2

 Для того чтобы научиться пользоваться этим законом, разберем типичную задачу.

Автомобиль, двигаясь из состояния покоя, приобретает ускорение 2 м/с². Найти путь, который прошел автомобиль за 3 секунды и за третью секунду.

Дано: V_0x = 0

А = 2 м/с²

S_1х - ?

S_2х - ?

Запишем закон, по которому меняется перемещение со временем при

равноускоренном движении: S_х = V_0x t + а_хt²/2. 2 c < Δt₂ < 3.

Мы можем ответить на первый вопрос задачи, подставив данные:

t₁ = 3 c S_1х = а_хt²/2 = 2· 3² / 2 = 9 (м) – это путь, который прошел

c автомобиль за 3 секунды.

Узнаем сколько он проехал за 2 секунды:

S_х (2 с) = а_хt²/2 = 2· 2² / 2 = 4 (м)

Итак, мы с вами знаем, что за две секунды автомобиль проехал 4 метра.

Теперь, зная два эти расстояния, мы можем найти путь, который он прошел за третью секунду:

S_2х = S_1х + S_х (2 с) = 9 – 4 = 5 (м)

 Ответ: 9 (м); 5 (м).

 

Заключение

 

 

Подводя итог сегодняшнего урока, мы можем сказать, что теперь мы знаем, какие величины необходимо ввести, чтобы описывать такое движение (это ускорение), и мы знаем, как решать главную задачу механики для случая равноускоренного движения. Следующий урок мы посвятим графикам равноускоренного движения, которые нам помогут глубже разобраться в этом виде механического движения, и рассмотрим особый случай равноускоренного движения – свободное падение.

 

 

Список литературы

1. Тихомирова С. А., Яворский Б. М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л. Э., Дик Ю. И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И. К., Кикоин А. К. Физика – 9. – М.: Просвещение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «fizika.in» (Источник)
2. Интернет-портал «class-fizika.narod.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «sverh-zadacha.ucoz.ru» (Источник)
4. Интернет-портал «kiselevich.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Какой вид имеют графики зависимости проекции скорости от времени при равноускоренном и равномерном прямолинейном движении?
2. Выведите формулу закона зависимости проекции перемещения от времени при равноускоренном движении.