Математика

Изображение пространственных объектов

 

В планиметрии мы изучали свойства плоских фигур. Хотя в природе их не найдешь – любой объект объёмный. Почему же мы так много времени уделили плоским фигурам, которых не существует в окружающем мире?

 

Есть природа, а есть модели природных объектов, которые у нас получается исследовать – отрезки, углы, фигуры. Они, в свою очередь, являются элементами объёмных тел. Изучив подробно свойства плоских фигур, теперь мы сможем применять полученные знания для исследования тел в пространстве.

Кирпич имеет форму параллелепипеда, а его грани – форму прямоугольника. Бревно имеет форму цилиндра, а спил (сечение) –  форму круга, если спил сделан перпендикулярно оси бревна, и эллипса, если под углом.

То есть переход от планиметрии к стереометрии – это расширение математической модели, а не замена одной на другую.

В планиметрии с изображением фигур было все просто: лист бумаги, по сути, представлял плоскость, и изобразить на нём плоскую фигуру (например, квадрат со стороной а) не составляло труда.

В стереометрии мы будем объёмные фигуры изображать на плоскости, что потребует от нас определенных навыков.

---

 

Особенности нашего зрения

Мы привыкли доверять своим глазам и не задаемся вопросом, почему один и тот же объект вблизи выглядит крупнее, чем вдали? Или почему разные по величине предметы порой кажутся одного размера? Механизмы зрения довольно сложны, однако некоторые его особенности можно объяснить на основе геометрических представлений.

Всякий предмет имеет линейные размеры: длину, ширину и высоту. Но как только он попадает в наше поле зрения, то приобретает еще один размер – угловой. Давайте разберемся, что это означает. Когда мы смотрим на предмет, то через каждую его точку можно провести от глаза луч, называемый лучом зрения. Понятно, что их будет бесконечно много. Любые два луча зрения образуют угол зрения (см. рис. 1).

Рис. 1. Угол зрения

Тот угол зрения, под которым предмет виден целиком, и принято называть угловым размером предмета. Как и всякий плоский угол, он измеряется в градусах, минутах, секундах или в радианах.

Угловой размер предмета – величина не постоянная и зависит от расстояния предмета от глаза: чем предмет дальше, тем меньше угол зрения, под которым он виден.

Чтобы понять причину этого явления, вспомним, что на сетчатке глаза изображение предмета получается обратным и уменьшенным. При удалении предмета его изображение на сетчатке становится меньше, поэтому он и кажется нам уменьшающимся (см. рис. 2). При сокращении расстояния изображение, напротив, увеличивается, и предмет кажется увеличивающимся (см. рис. 3).

Рис. 2. Предмет кажется уменьшающимся при его удалении

Рис. 3. Предмет кажется увеличивающимся при его приближении

Теперь легко объяснить, почему две «убегающие» вдаль параллельные линии (железнодорожные рельсы, края прямолинейного шоссе) кажутся «сходящимися» в одной точке (см. рис. 4). Такое же впечатление создают ряды телеграфных столбов или деревьев вдоль дороги. Это лишь иллюзия, которая возникает из-за видимого уменьшения расстояния между прямыми по мере их удаления.

Рис. 4. Железнодорожные рельсы кажутся «сходящимися» в одной точке

Часто приходится сталкиваться и с другой ситуацией. Если рассматривать предметы одинаковой формы, но разных линейных размеров под одним и тем же углом зрения, то кажется, что их размеры равны. Поэтому мы можем закрыть монеткой Луну или Солнце.

А при полном солнечном затмении лунный диск в точности заслоняет солнечный (см. рис. 5). В этот момент наблюдатель с Земли видит оба небесных тела под одним углом зрения.

Рис. 5. При полном солнечном затмении лунный диск в точности заслоняет солнечный

Увидеть такое уникальное явление было бы невозможно, если бы линейные размеры Солнца и Луны, а также расстояния от них до Земли не состояли в определенной математической зависимости: диаметры Солнца и Луны ( и ) и расстояния от этих тел до Земли ( и ) связаны пропорцией:

Исходя из указанных особенностей нашего зрения, важно научиться правильно изображать объекты, чтобы избежать оптического обмана и искажения восприятия.

---

Работая с такими фигурами, необходимо научиться изображать их на бумаге. Для этого нужно следовать двум соображениям:

1. При изображении дли́ны отрезков и величи́ны углов могут меняться, т.е. длинный отрезок вполне может быть изображен коротким, а прямой угол острым или тупым;
2. Параллельность отрезков сохраняется всегда. Длины параллельных отрезков меняются в одинаковой степени, т.е. параллельные равные отрезки всегда будут изображены тоже как параллельные и равные.

Пока мы будем использовать эти утверждения без доказательства, так как у нас не хватает теоретической базы. Но скоро мы сможем это сделать. А пока потренируемся изображать различные тела.

 

Многогранники

 

 

Начнем с куба. Попробуйте взять любой предмет в виде куба, поставить его на стол и нарисовать его границы, глядя под таким углом (см. рис. 1). После этого сравните с тем, что мы сейчас нарисуем, используя геометрические свойства.

 

Рис. 1. Куб под определенным углом

Все грани куба являются квадратами. Противоположные стороны квадратов параллельны и равны. Это свойство сохранится при изображении.

Изобразим ближнюю к нам грань в виде квадрата, верхнюю грань – в виде произвольного параллелограмма (см. рис. 2). Мы получили уже три ребра, исходящих из одной точки. Все остальные ребра будут изображены параллельными и равными одному из них, т.е. дальше все получится автоматически.

Рис. 2. Ближняя и верхняя грани куба

Изображаем правую грань, сохраняя параллельность соответствующих ребер.

Остальные ребра при рассматривании куба с этой точки нам не видны. Их изображают пунктирами (см. рис. 3).

Рис. 3. Куб

Итак, еще раз, самое главное:

1. Параллельные ребра куба должны быть параллельны и равны друг другу на изображении;
2. Все ребра куба равны, но непараллельные ребра на рисунке могут быть неравными;
3. Все углы граней куба прямые. Но на рисунке некоторые остались прямыми, другие изображены острыми или тупыми.

Зная, как нарисовать куб, несложно понять, как нарисовать прямоугольный параллелепипед – достаточно заменить квадрат передней грани на прямоугольник и дальше пропорционально изменить длины соответствующих ребер (см. рис. 4).

Рис. 4. Параллелепипед

Изобразим теперь произвольную призму. Верхнее и нижнее основания призмы – равные многоугольники. Причем соответствующие стороны у них параллельны.

Изображаем два равных многоугольника ровно один над другим,  если призма прямая, и со сдвигом, если призма наклонная (см. рис. 5).

Рис. 5.  Верхние и нижние основания прямой и наклонная призм

Верхнее основание нам видно целиком, поэтому мы изображаем его целиком сплошными линиями.  Невидимые боковые ребра и стороны нижнего основания изображаем пунктиром. Все боковые ребра призмы параллельны друг другу, это должно выполняться и для рисунка (см. рис. 6).

 

Рис. 6. Прямая и наклонная призмы

Перейдем теперь к пирамидам и начнем с треугольной. В основании пирамиды лежит треугольник. В треугольнике нет параллельных сторон, поэтому основание можно изобразить любым треугольником. В качестве вершины можно выбрать любую точку сверху и соединить её с вершинами треугольника в основании. Невидимое ребро делаем пунктирным. Чаще всего основание пирамиды располагают к нам вершиной, но иногда и наоборот (см. рис. 7). Главное не повернуть пирамиду таким образом, чтобы два ребра оказались очень близко или вообще совпали.

Рис. 7. Треугольные пирамиды

В четырехугольной пирамиде нужно учитывать, что если в основании есть параллельные стороны, то на рисунке они должны остаться параллельными. Так, если в основании квадрат, то мы изображаем параллелограмм. При этом, глядя на уже готовый рисунок, нам не удастся понять, что на самом деле лежит в основании – квадрат, прямоугольник, ромб или произвольный параллелограмм (см. рис. 8). Поэтому в описании фигуры нужно делать соответствующее пояснение.

Рис. 8. Четырехугольная пирамида (основание – квадрат)

Для изображения непараллельных отрезков верно аналогичное утверждение. Непараллельные отрезки изображаются непараллельными. Таким образом, если в основании пирамиды лежит трапеция, то изображена она должна быть в виде именно трапеции – две стороны параллельны, а две – нет (см. рис. 9). Причем, трапеция на рисунке будет не совсем произвольная: отношение длин оснований должно сохраниться.

Это общее правило при изображении пространственных фигур на плоскости: пропорции параллельных отрезков должны сохраняться.

Рис. 9. Четырехугольная пирамида (основание – трапеция)

 

Тела вращения

 

 

Кроме многогранников, нужно уметь изображать также тела вращения, границами которых являются кривые линии. Речь идет о конусе, цилиндре и шаре.

 

С какой бы стороны мы не глядели на шар, мы увидим круг (см. рис. 10). Поэтому рисуем окружность.

Рис. 10. Круг

Чтобы показать трехмерность фигуры, изображаем большой круг – сечение шара плоскостью, проходящей через центр (см. рис. 11).

Рис. 11. Сечение шара плоскостью, проходящей через центр

Если на круг смотреть под углом, мы увидим его как эллипс. Именно так и изображаем большой круг. Ближняя часть большого круга видима, дальняя – нет (см. рис. 12).

Рис. 12. Шар

Чтобы нарисовать цилиндр и конус достаточно вспомнить, что они являются предельными случаями призмы и пирамиды соответственно.

Основания цилиндра – окружности, которые мы видим под углом. Изображаем их эллипсами. И соединяем двумя образующими (см. рис. 13).

Рис. 13. Основания цилиндра соединены двумя образующими

Дальняя часть нижней окружности нам не видна, рисуем пунктиром (см. рис. 14).

Рис. 14. Цилиндр

С конусом аналогичная ситуация. Основание конуса – круг, мы видим как эллипс.  Выбираем точку, которая будет вершиной и соединяем двумя образующими (см. рис. 15).

Рис. 15. Конус

Почему мы учимся рисовать и будем изучать только некоторые виды тел – пирамиды, призмы, конусы, цилиндры и шары? Конечно, различных геометрических тел бесконечно много. Но подробно изучать и исследовать свойства произвольного тела не получится – это для нас возможно только в некоторых частных случаях. Кроме того, есть смысл это делать для тех объектов, которые часто используются. Для более сложных форм мы будем использовать различные приближения изученными объектами. Вспомните, как произвольную кривую мы приближали ломаной.

Например, архитекторы, умея работать с конкретными видами объектов, при этом строят здания самой разнообразной формы. А футбольный мяч, на самом деле, не идеальный шар, а многогранник, но он настолько близок по форме и свойствам к шару, что мы можем использовать это приближение для изучения его характеристик.

 

Объём и площадь поверхности

 

 

Основной характеристикой размера плоских фигур была площадь. Т. е. если говорят, что одна плоская фигура больше другой, то обычно имеют в виду, что у нее больше площадь.

 

Для пространственных фигур можно ввести похожее понятие – объём.

Метод определения объёма очень сильно повторяет метод определения площади. Мы об этом уже говорили на уроке 9-го класса, давайте вспомним суть.

Объём куба со стороной 1 принимается за единицу объёма (см. рис. 16).

Рис. 16. Куб со стороной 1

Объём произвольного тела равен количеству единичных кубов, которые помещаются в изучаемый (см. рис. 17).

Рис. 17. Произвольное тело, где

Если целое количество разместить невозможно, то используются дробные единицы объёма, получаемые при делении единичного куба на десятичные части (см. рис. 18).

Рис. 18. Произвольное тело, где

Как и с площадями использование такого метода для определения объёма на практике весьма неудобно. Вместо того чтобы заполнять изучаемую фигуру единичными кубами и их долями, мы используем формулы для вычисления объёмов основных фигур.

---

 

Определение объёма тела

Любой математический термин должен быть строго определен (или отнесен к неопределяемым – мы знаем такие примеры, например, множество или точка).

Давайте рассмотрим строгое определение понятия объём тела. Рассмотрим функцию: каждому геометрическому телу поставим в соответствие некое положительное число.

Оно будет называться объёмом тела, если выполнены следующие свойства:

1. Объём куба с ребром 1 равен 1.
2. Если тело состоит из конечного количества других непересекающихся тел, то объём тела равен сумме объёмов его частей.

Этот подход абсолютно идентичен аксиоматическому определению площади и длины. При таком определении у каждого тела будет объём, причем его значение для данного тела будет единственным. Этот факт можно обобщить в виде следующей теоремы.

Теорема. Каждому телу соответствует единственное значение объёма. Изменение единицы длины в  раз, приводит к изменению объёма в  раз. Аналогичная теорема верна и для площади, с коэффициентом .

Изменение единицы длины означает, что мы рассматриваем подобную фигуру на плоскости или тело в пространстве. Поэтому утверждение про изменение объёма или площади для нас не ново – изменение линейных размеров приводит к квадратному изменению площади и кубическому изменению объёма (см. рис. 1).

Рис. 1. Изменение линейных размеров приводит к квадратному изменению площади и кубическому изменению объёма

---

Понятие площади тоже остается актуальным и для трехмерных фигур, только теперь это площадь поверхности тела – полная или частичная.

Если мы проектируем помещение, где будут работать люди, то с одной стороны нам важен его объём (чтобы на каждого человека приходилось не меньше, чем определенное количество воздуха), а с другой – площадь стен (площадь боковой поверхности), чтобы рассчитать необходимое количество рулонов обоев или краски.

Другой пример: для воздушного шара есть две характеристики размера. Если мы считаем количество материала, необходимого для постройки шара, то это площадь поверхности, а если грузоподъемность, то она преимущественно зависит от количества воздуха, которое в него помещается, то есть речь идет об объёме.

Для простейших многогранников обычно разделяют площадь полной поверхности и площадь боковой поверхности. Как следует из самого названия, боковая поверхность – это поверхность, состоящая из боковых граней, а полная – из всех граней. Нетрудно увидеть, что полная поверхность – это боковая поверхность и поверхность оснований вместе.

 

Аксиомы стереометрии

 

 

Чтобы о чем-то рассуждать, нужно сначала договориться, что мы принимаем за базовые истины, т. е., что для нас очевидно или хотя бы непротиворечиво.

 

Когда мы проводим отрезок, то ясно, что он не может быть идеально ровным, что у него есть толщина и т. д. Но если будем пытаться все это учитывать, то ничего не выйдет. Самая важная задача человека – понять, чем можно пренебрегать, а чем нельзя. Если все важные факторы учтены и перечислены, т. е. построена модель или теория, то дальше все вычисления можно перепоручать машине (компьютеру).

В геометрии мы тоже выделяем неопределяемые фигуры и основные утверждения, аксиомы, которые берутся без доказательства. Почему без доказательства понятно, ведь еще нет фактов, на которые можно было бы опереться при доказательстве. Аксиомы и будут такими первыми фактами.

В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. Они не имели определения.

В трехмерном пространстве точки и прямые остаются таковыми, к ним добавляются плоскости.

Точки, как и раньше, обозначаются прописными (большими) латинскими буквами, а прямые – строчными (маленькими) латинскими или парой больших.

Плоскости изображаются в виде параллелограмма или произвольной области. Обозначаются греческими строчными буквами: , ,  и т. д.

Точка может принадлежать плоскости или нет (см. рис. 19). Например, точка  принадлежит плоскости , а точка  – нет. Обозначается это так же, как и для прямых:

Рис. 19. Точка  принадлежит плоскости , а точка  – нет

Аксиом стереометрии достаточно много. Мы рассмотрим три самые важные для нас.

 

Аксиома .

В планиметрии была такая аксиома: через любые две точки проходит прямая, причем только одна. Понятно, что эти точки не должны были совпадать. Иначе прямых можно было бы провести бесконечно много.

В стереометрии подобная аксиома звучит так: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, причем только одна.

Проиллюстрировать это можно так: на три опоры можно устойчиво положить пластинку, т. е. у нее единственное положение. Если точки окажутся на одной прямой, то пластина будет неустойчива, у нее много возможных положений (см. рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к аксиоме

По этой же причине табуретка на трех ножках всегда устойчива и не может качаться, а если ножек четыре, то часто бывает, что три ножки на полу, а четвертая висит в воздухе.

 

Аксиома .Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Представьте, что вам нужно длинную металлическую линейку удерживать ровно на поверхности воды. Для этого вам необходимо удерживать две точки. Тогда и вся линейка окажется в нужном вам положении – в плоскости поверхности воды (см. рис. 21):

Рис. 21. Иллюстрация к аксиоме

Из этой аксиомы мы получаем понятное следствие: если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки (см. рис. 22). В самом деле, если бы точек было бы больше одной, т. е. хотя бы две, то по аксиоме  прямая бы лежала в плоскости.

Рис. 22. Иллюстрация к следствию:

Остаются варианты:

1.      прямая и плоскость имеют только одну общую точку (см. рис. 23). Тогда говорят, что прямая пересекает плоскость.

Рис. 23. Прямая пересекает плоскость:

2.      прямая и плоскость не имеют общих точек (см. рис. 24). Тогда говорят, что прямая и плоскость параллельны.

Рис. 24. Прямая и плоскость параллельны:

Обычно, когда говорят «две точки», «две прямые», «две плоскости» подразумевают, что они не совпадают. Так будет считать и мы.

Возьмем две плоскости.

Они могут не иметь общих точек, тогда говорят, что они параллельны друг другу или иметь общие точки (см. рис. 25).

Рис. 25. Взаимное расположение плоскостей

Последний вариант описывается следующей аксиомой.

 

Аксиома . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Эта аксиома утверждает, что две плоскости могут пересекаться только по прямой (см. рис. 26).

Рис. 26. Две плоскости могут пересекаться только по прямой

Если опустить часть фанерного листа в воду в любом положении, то когда мы его достанем, граница мокрой и сухой частей будет прямой линией. По этой прямой и пересекались две плоскости – плоскость фанерного листа и плоскость поверхности воды (см. рис. 27).

Рис. 27. Иллюстрация к аксиоме

 

Теоремы

 

 

Имея такой небольшой набор основных фигур и аксиом, мы уже можем доказывать различные факты, которые из них вытекают, т. е. теоремы.

 

Можно доказывать очень много самых разных теорем, но есть базовые, важные. Во-первых, потому что они описывают соотношение базовых геометрических фигур – точки, прямой и плоскости. Во-вторых, потому что они используются для доказательства других важных теорем, описывающих свойства интересующих нас объектов.

При этом стоит сразу заметить, что утверждения многих базовых теорем могут казаться очевидными и очень похожими на те, которые мы формулировали в аксиомах. Это неудивительно – в качестве аксиом можно выбрать разные наборы очевидных фактов. Но тогда остальные, не вошедшие в этот список, придется доказывать. Поскольку любая теория или модель тем лучше, чем меньше допущений она использует, то в математике и, в частности, геометрии стремились к созданию такой аксиоматики, в которой будет наименьшее число аксиом. Поэтому все остальные факты, даже кажущиеся очевидными, приходится доказывать, чтобы избежать противоречий. В целом, к доказательству таких очевидных теорем можно относиться как к игре – есть набор инструментов (кнопок, которые вы можете нажимать), нужно получить требуемый результат (определить последовательность, в которой эти кнопки нужно нажать).

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, притом только одна.

Доказательство.

Пусть точка  (см. рис. 28).

Рис. 28. Иллюстрация к теореме 1

Отметим на прямой две точки  и  (см. рис. 29).

Рис. 29. Иллюстрация к теореме 1

Через точки ,  и  проходит единственная плоскость  (это следует из аксиомы ) (см. рис. 30).

Рис. 30. Иллюстрация к теореме 1

Сама прямая  целиком лежит в этой плоскости (по аксиоме ), т. к. две ее точки лежат в этой плоскости: .

Итак, мы показали, что через прямую и точку проходит плоскость. Осталось показать, что она единственна. Плоскость, проходящая через прямую  и точку , проходит через три точки ,  и , не лежащие на одной прямой. Но по первой аксиоме такая плоскость единственна.

Доказано.

 

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, притом только одна.

Доказательство.

Рассмотрим две прямые  и , пересекающиеся в точке  (см. рис. 31).

Рис. 31. Иллюстрация к теореме 2

На прямой  отметим точку  (см. рис. 32). Точка , в противном случае прямые  и  проходили бы через обе точки, а, значит, совпадали бы.

Рис. 32. Иллюстрация к теореме 2

Т. к. , то по первой теореме существует плоскость, проходящая через прямую  и точку  (см. рис. 33): , .

Рис. 33. Иллюстрация к теореме 2

Точки  и  прямой  лежат в плоскости, значит, и вся прямая  лежит в плоскости, что следует из первой аксиомы.

Таким образом, мы показали существование плоскости, проходящей через две прямые. Любая плоскость, проходящая через эти две прямые, проходит через прямую  и точку , а, значит, она единственна.

Доказано.

 

Аксиома  и две доказанные теоремы дают нам три способа, как можно задать плоскость:

1.      можно указать три точки, не лежащие на одной прямой (см. рис. 34);

Рис. 34. Три точки , , , не лежащие на одной прямой

2.      можно задать прямую и точку, не лежащую на ней (см. рис. 35);

Рис. 35. Прямая  и точка , не лежащая на ней

3.      можно указать две пересекающиеся прямые (см. рис. 36).

Рис. 36. Пересекающиеся прямые  и

Во всех трех случаях мы однозначно определим плоскость.

Три рассмотренные аксиомы и две теоремы или способ введения объёма с помощью аксиом иллюстрируют очень важный в математике аксиоматический метод.

---

 

Аксиоматический метод

Аксиоматический метод — это способ построения математической теории, при котором в основу кладутся некоторые положения, принимаемые без доказательства (аксиомы), а все остальные выводятся из них чисто логическим путем.

Первая математическая наука, которую старались построить в соответствии с аксиоматическим методом, была геометрия. В самом главном труде Евклида «НАЧАЛА», написанном около 300 г. до н. э., были сформулированы первые аксиомы и приведены доказательства многих теорем (см. рис. 1).

Рис. 1. Евклид

При этом понимание понятия аксиомы было тогда несколько иным. Аксиома для древних греков – это очевидное утверждение, не требующее доказательства. Такую трактовку и сейчас часто можно услышать, в том числе и от учителей математики. Во многом это понятно, так как евклидова геометрия в самом деле оперирует фактами, согласующимися с нашей интуицией.

Все изменилось в 19 веке, когда из аксиом убрали слово «очевидное». Связано это во многом с открытием геометрии Лобачевского (см. рис. 2).

Рис. 2. Н.И. Лобачевский

Т. е. было доказано, что можно строить математическую теорию на другом наборе аксиом, в частности, где неверна знаменитая аксиома о параллельных прямых. В геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются, а через точку, не лежащую на прямой, можно провести не одну прямую параллельную данной. В качестве иллюстрации можно рассмотреть параллели и меридианы на глобусе – все эти линии пересекаются в полюсах.

Законченное описание аксиоматического метода было сделано Давидом Гильбертом в конце 19 века (см. рис. 3).

Рис. 3. Давид Гильберт

Это было время крайнего энтузиазма относительно созданного метода. Гильберт полагал, что все, что можно узнать в математике, мы узнаем с помощью аксиоматического метода. При этом в идеале из математики будет изгнана интуиция и останутся только формальные процедуры.

Изгнание интуиции из аксиоматического метода Гильберт проиллюстрировал словами: «Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины «точка», «прямая», «плоскость» другими, столь же условными: «стул», «стол», «пивная кружка»!»

Тем не менее возможности аксиоматического метода оказались не безграничными. В 1930 году Курт Гедель сформулировал свою знаменитую теорему о неполноте, которая опровергла всесильность аксиоматического метода (см. рис. 4).

Рис. 4. Курт Гедель

Тем не менее создание аксиоматического метода оказало важнейшее влияние на развитие математики и не только ее. Например, все современные языки программирования основываются на аксиоматическом методе.

---

 

Сечения

 

 

Одним из способов решения сложной стереометрической задачи является переход к рассмотрению одной или нескольких планиметрических задач. Для этого можно рассматривать какую-то грань многогранника или какое-то сечение трехмерного тела плоскостью.

 

Идея изучения сечения в следующем – мы рассекаем трехмерное тело плоскостью в нужном нам направлении и изучаем свойства полученной плоской фигуры (которая и называется сечением). Изучив различные сечения, мы можем делать некие общие выводы относительного всего тела. И здесь нужно разобраться, какие сечения бывают у различных тел и как их строить.

 

Сечения куба

 

 

Плоскость может пересекать минимум три ребра, и тогда в сечении получается треугольник (см. рис. 37). Меняя наклон плоскости можно получить равнобедренный или даже равносторонний треугольник.

 

Рис. 37. Сечение куба – треугольник

Если плоскость параллельна грани, то в сечении получим квадрат (см. рис. 38).

Рис. 38. Сечение куба – квадрат

Если секущая плоскость параллельна ребру, то получим прямоугольник (см. рис. 39).

Рис. 38. Сечение куба – прямоугольник

Если совсем избавиться от параллельности ребру или грани, то получим параллелограмм (см. рис. 39).

Рис. 39. Сечение куба – параллелограмм

Озвученные выше утверждения мы сможем доказать чуть позже, когда докажем, что плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым.

Секущая плоскость может пересекать 5 или все 6 граней. В сечении будут получаться пятиугольник (см. рис. 40) или шестиугольник (см. рис. 41).

Рис. 40. Сечение куба – пятиугольник

Рис. 41. Сечение куба – шестиугольник

---

 

Свойства сечений куба

Рассмотрим сечение куба, которое является треугольником (см. рис. 1).

Рис. 1. Сечение куба – треугольник

Несложно показать, что как бы ни меняли наклон плоскости, нам не удастся получить прямоугольный или тупоугольный треугольник в сечении.

В самом деле, запишем три теоремы Пифагора:

Сложим второе и третье:

Следовательно:

Значит,  – острый (т. к.  – по теореме косинусов для треугольника , откуда, учитывая полученное неравенство, можем сделать вывод, что , откуда следует, что , а, значит,  – острый).

Такой же вывод можно сделать и относительно остальных углов. Итак, в сечении куба может получиться только остроугольный треугольник.

Теперь рассмотрим вопрос относительно пятиугольного сечения куба: может ли в сечении получиться правильный пятиугольник?

В кубе три пары параллельных граней, секущая плоскость пересекает две таких пары. Следовательно, пятиугольник, полученный в сечении, имеет две пары параллельных сторон. Но у правильного пятиугольника нет параллельных сторон.

А вот правильный шестиугольник вполне может получиться. Докажите самостоятельно, что это происходит, если секущая плоскость проходит через середины ребер куба.

---

 

Сечения тетраэдра

 

 

Перейдем к тетраэдру – треугольной пирамиде (см. рис. 42).

 

Рис. 42. Тетраэдр

Т. к. у тетраэдра 4 грани, то секущая плоскость может пересекать или 3 или 4 грани, таким образом, в сечении будет получаться или треугольник (см. рис. 43), или четырехугольник (см. рис. 44).

Рис. 43. Сечение тетраэдра – треугольник

Рис. 44. Сечение тетраэдра – четырехугольник

 

Заключение

 

На следующих уроках мы рассмотрим, как строить различные сечения.

 

Список рекомендованной литературы.

1. АО «Издательство «Просвещение» Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. 10–11
2. АО «Издательство «Просвещение» Бутузов В.Ф., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А. 10–11
3. АО «Издательство «Просвещение» Погорелов А.В. 10–11 

 

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.

1. Ин­тер­нет-пор­тал «math10.com»
2. Ин­тер­нет-пор­тал «yaklass.​ru»
3. Ин­тер­нет-пор­тал «cknow.ru»

Рекомендованное домашнее задание.

1. Тело  составлено из трех тел: , , . Суммы объёмов тел  и ,  и ,  и  соответственно равны , , . Найти объём тела .
2. Точки , ,  лежат в каждой из двух различных плоскостей. Доказать, что эти точки лежат на одной прямой.
3. Построить сечение тетраэдра  плоскостью, проходящей через пересечения медиан грани  параллельно .