Математика

Тема 13: Аксиомы стереометрии. Профильный уровень

Урок 2: Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Напоминание основных понятий

Напомним: геометрия – это наука, которая изучает свойства геометрических фигур. Геометрическая фигура – это любая совокупность точек. Геометрия подразделяется на планиметрию и на стереометрию, которую мы начинаем изучать.

План изучения стереометрии

Мы начнем изучение стереометрии с основных понятий, основных фигур, аксиом, точно также как это делалось в планиметрии.

Основные фигуры стереометрии, примеры фигур

Основными фигурами стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Примеры стереометрических фигур: шар, сфера, конус, цилиндр, параллелепипед и т.д.

Обозначение основных фигур стереометрии

Рис. 1.

А, В, С, D – точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.

АВ = , CD = b – прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.

– плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).

Рассмотрим прямую . На ней лежат точки А и В. Прямая может быть также обозначена как АВ.

Рассмотрим прямую b, на ней лежат точки С и D. Прямая b может быть также обозначена как СD.

Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.

Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, . Например, точка А принадлежит прямой : .

Рассмотрим плоскость (Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости : . А вот прямая не принадлежит плоскости : .

Первая аксиома стереометрии

Аксиомы стереометрии.

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Пояснение к аксиоме А1.

Рис. 2.

Рассмотрим три точки: А, В, С, причем точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна.

Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.

Вторая аксиома стереометрии

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

Пояснение к аксиоме А2.

Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой принадлежат плоскости (Рис. 3).

Рис. 3.

Аксиома утверждает – все точки прямой (прямой АВ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.

Эту аксиому можно записать следующим образом:

Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.

Если у прямой и плоскости одна общая точка М, то тогда говорят, что прямая и плоскость пересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: .

Рис. 4.

Третья аксиома стереометрии

Аксиома 3 (А3)

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Пояснение к аксиоме А3.

Имеем разные плоскости: плоскость , плоскость . Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости и плоскости . (Рис. 5)

Рис. 5.

Отсюда вытекает, что существует прямая , которая проходит через точку М, которая одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости b. Вот в этом случае и говорят, что плоскости и пересекаются по прямой .

Смысл аксиом разъясняется в многочисленных вопросах и задачах. Вот некоторые из них.

Решение задач

Решение задач

Дан тетраэдр АВСD (Рис. 6). Даны следующие точки: точка Е – внутренняя точка ребра АВ, точка Р – внутренняя точка отрезка ЕD, точки М и К, соответственно, на ребрах ВD и DС.

Рис. 6.

Задача 1

а) В какой плоскости лежит прямая

Ответ: . Прямая РЕ лежит в плоскости АВD, так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой. Точка Е лежит в плоскости АВD и точка Р лежит в этой же плоскости. Значит, по второй аксиоме все точки прямой РЕ лежат в плоскости АВD.

б) В какой плоскости лежит прямая

Ответ: . Прямая MK лежит в плоскости DBC, так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой. Точка M лежит в плоскости DBC и точка K лежит в плоскости DBC. По второй аксиоме все точки прямой MK лежат в плоскости DBC.

в) В каких плоскостях лежит прямая

Ответ: Прямая BD лежит в плоскостиBDА и в плоскости BDС. Значит, прямая BD одновременно лежит в двух плоскостях. Прямая BD есть линия пересечения двух плоскостей. Говорят, что грани АBD, BDС пересекаются по прямой BD. Это можно записать так:

г) В каких гранях лежит прямая ?

Ответ: Прямая АB лежит в грани АВС и в грани АBD. Значит, прямая АВ есть линия пересечения двух этих граней.

д) В каких гранях лежит прямая ?

Ответ: Прямая EC лежит в плоскости АВС и в плоскости ECD, так как точки Е и С лежат одновременно в плоскости АВС и в плоскости ECD. Значит, прямая ЕС есть линия пересечения этих плоскостей.

Задача 2.

а) Найдите точку пересечения прямой DК с плоскостью АВС.

Решение:

Прямая DК содержит точку С. Плоскость АВС содержит точку С. Значит, прямая DК и плоскость АВС пересекаются в точке С.

б) Найдите точку пересечения прямой СЕ с плоскостью АDВ.

Решение:

Точка Е принадлежит и прямой СЕ, и плоскости АDВ. Значит, Прямая СЕ пересекается с плоскостью АDВ в точке Е.

Задача 3.

а) Найдите точки, лежащие одновременно в плоскостях АDВ и DВС.

Решение:

Точка В и точка D одновременно лежат и в АDВ, и в DВС. Значит, . Все точки прямой DВ являются ответом.

б) Найдите прямые, по которым пересекаются плоскость АDВ и DВС.

Решение:

Точка В и точка D одновременно лежат и в АDВ, и в DВС. Значит, прямая DВ есть прямая, по которой пересекаются заданные плоскости.

в) Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости АDВ и СDА.

Решение:

Точки А, D лежат в плоскости АDВ, а также точки А, D лежат в другой плоскости СDА. Значит, АD – линия их пересечения: .

г) Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости РDС и АВС.

Решение:

Плоскость РDС совпадает с плоскостью ЕDС. Точка Е и точка С одновременно лежат в двух плоскостях: РDС и АВС. Значит, СЕ – это линия пересечения двух плоскостей.

Итоги урока

Итак, мы рассмотрели предмет стереометрии, три основные аксиомы, их применение. На этих аксиомах строится все грандиозное здание стереометрии.

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Математика (Источник).

2. Физ-мат класс (Источник).

3. ЯКласс (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Задания 2, 4 на стр. 9.

Перечислите известные вам аксиомы стереометрии.