Математика

 

 

Тема: Аксиомы стереометрии и их следствия

 

Урок: Решение задач на применение аксиом и их следствий (в параллелепипеде)

 

Напоминание аксиом стереометрии и теорем, которые следуют из них

 

 

Аксиома 1 (А1)

 

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 

Иллюстрация аксиомы А1.

Рис. 1.

Рассмотрим три точки: А, В, С, причем точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 1.). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна. Плоскость  можно также обозначить через три точки АВС.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

Иллюстрация аксиомы А2.

Рассмотрим плоскость , точки А,  В  прямой  принадлежат плоскости  (Рис. 2.).

Рис. 2.

Аксиома утверждает – все точки прямой  (прямой АВ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости  или плоскость  проходит через прямую .

Аксиома 3 (А3).

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (плоскости пересекаются по прямой).

Иллюстрация аксиомы А3.

Имеем разные плоскости: плоскость , плоскость . Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости и плоскости . (Рис. 3.)

Рис. 3.

Третья аксиома утверждает, что они имеют прямую, на которой лежат все их общие точки. Прямую мы обозначили за l, т.е. плоскости  и  пересекаются по прямой l, проходящей через точку М.

 

Повторение теорем, которые следуют из аксиом стереометрии.

Теорема 1

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация теоремы 1.

Рис. 4. 

Даны прямая а и точка М, не лежащая на данной прямой (Рис. 4.). Теорема утверждает, что существует такая единственная плоскость , которая проходит и через прямую а, и через точку М, и что эта плоскость  – единственная. Это можно записать таким образом:

   единственная

Теорема 2

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация теоремы 2.

Рис. 5.

Даны прямые а и b, они пересекаются, т.е. имеют единственную общую точку М (Рис. 5.). Теорема утверждает, что существует единственная плоскость  – такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b, что можно записать таким образом:

 

Теперь применим аксиомы 1, 2, 3 и теоремы 1, 2 для задач в параллелепипеде.

 

Решение задачи 1

 

 

Дан параллелепипед  (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA₁. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M.

 

По какой прямой пересекаются плоскости:

1) АВС и

2)  и

3)  и ?

Рис. 6.

 Решение:

1) Плоскость АВС – плоскость нижней грани. Плоскость  – плоскость боковой грани. У них общая прямая DC, по ней эти плоскости пересекаются.

2) Плоскость  – это плоскость задней грани. Плоскость  – это плоскость грани . Они пересекаются по прямой .  – это общая прямая плоскостей  и .

3) Плоскость , можно обозначить как LAK. - плоскость передней грани .  – это плоскость нижней грани. Они пересекаются по прямой АD. Прямая АD входит и в переднюю грань  и в нижнюю грань .

Ответ: 1) DC, 2) , 3) АD.

 

Решение задачи 2

 

 

Дан параллелепипед  (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA₁. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M.

 

Назовите три разные плоскости, которые пересекаются:

1) в точке А

2) в точке С

Напоминание: В вершине сходятся три плоскости, так как первые две плоскости пересекаются по прямой линии, вторые две плоскости пересекаются по второй прямой линии. Прямые пересекаются в точке. Значит, три плоскости могут пересекаться в одной точке.

Решение: 

1) В точке А пересекаются плоскости АВС – плоскость нижней грани, плоскость  – плоскость передней грани, плоскость  – плоскость левой грани. Эти три плоскости пересекаются в точке А.

 

2) Какие плоскости пересекаются в точке С? Первая плоскость СВD, т.е. это плоскость нижнего основания, вторая плоскость  и третья плоскость .

Ответ: 1) АВС; ; 2) СВD; ; .

 

Решение задачи 3

 

 

Дан параллелепипед  (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA₁. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M.

 

По какой прямой пересекаются плоскости  и ?

Плоскость – это плоскость передней грани. Заметим, что в ней расположены и точка М, и точка N. Обе точки расположены в этой плоскости, значит, в этой плоскости по аксиоме расположена вся прямая МN. И вторая плоскость  содержит прямую МN. Значит, прямая МN является линией пересечения двух этих плоскостей.

Ответ: MN 

 

Итоги урока

 

 

Итак, мы рассмотрели применение аксиом стереометрии и следствие из них для решения задач в параллелепипеде. А именно: задач на расположение точек, прямых и плоскостей.

 

Эти сведения будут использованы для решения других задач в следующих уроках.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Obmir.ru (Источник).

2. Якласс (Источник).

3. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Дан параллелепипед  (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA₁. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M. По какой прямой пересекаются плоскости:

а) CDB и

б)  и

в)  и ?

2. Дан параллелепипед  (Рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA₁. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M. Назовите три разные плоскости, которым принадлежат:

а) точка N

б) точка D

в) точка B

3. Дан параллелепипед  (рис. 6.). Точка L лежит на продолжении прямой AA₁. Точка К лежит на продолжении прямой AD. Прямая LK пересекает ребра в точках N и M. Совпадают ли плоскости  и ? Ответ обоснуйте.

4. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

Задание 13, стр. 10.