Математика

 

 

Тема: Аксиомы стереометрии и их следствия

 

Урок: Решение задач на применение аксиом и их следствий (в пирамиде)

 

Напоминание аксиом стереометрии 

 

 

Аксиома 1 (А1)

 

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 

Иллюстрация аксиомы А1.

Рис. 1.

Рассмотрим три точки: А, В, С, точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 1.). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна. Плоскость  можно также обозначить через три точки АВС.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

Иллюстрация аксиомы А2.

Рассмотрим плоскость , точки А,  В  прямой  принадлежат плоскости  (Рис. 2.).

Рис. 2.

Аксиома утверждает – все точки прямой  (прямой АВ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости  или плоскость  проходит через прямую .

Аксиома 3 (А3).

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (плоскости пересекаются по прямой).

Иллюстрация аксиомы А3.

Имеем разные плоскости: плоскость , плоскость . Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости и плоскости . (Рис. 3.)

Рис. 3.

Третья аксиома утверждает, что они имеют прямую, на которой лежат все их общие точки. Прямую мы обозначили за l, т.е. плоскости  и  пересекаются по прямой l, проходящей через точку М.

 

Напоминание теорем, которые следуют из аксиом стереометрии

 

 

Из этих аксиом вытекают две важные теоремы.

 

Теорема 1

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация теоремы 1.

Рис. 4. 

Даны прямая а и точка М, не лежащая на данной прямой (Рис. 4.). Теорема утверждает, что существует такая единственная плоскость , которая проходит и через прямую а, и через точку М, и что эта плоскость  – единственная. Это можно записать таким образом:

   единственная

Теорема 2

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрация теоремы 2.

Рис. 5.

Даны прямые а и b, они пересекаются, т.е. имеют единственную общую точку М (Рис. 5.). Теорема утверждает, что существует единственная плоскость  – такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b, что можно записать таким образом:

 

Решение задачи 1 

 

 

Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6.). Найти, по какой прямой пересекаются: а) плоскости АВD и АСК

 

б) плоскости АDС и МВС

в) плоскости ВDК и АDС

г) плоскости МDN и АВD

Рис. 6. 

а) В этом пункте речь идет о двух плоскостях АВD и АСК. Что такое, плоскость АВD - понятно, это плоскость грани. А что такое плоскость АСК? Здесь надо понять, что это плоскость АВС, только по-другому названная, так как точка К лежит на прямой ВN. Ее пересекает прямая АС, а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Вот названия этой одной и той же плоскости: АВС, АМС, АLC, АСК. Итак, в этом пункте на самом деле речь идет о пересечении плоскостей АВD и АВС. Эти плоскости пересекаются по прямой АВ, потому что и точка А, и точка В принадлежат двум плоскостям - АВD и АВС.

Ответ: АВ.

Напоминание: Для названия плоскости нужно иметь только три точки, которые не лежат на одной прямой.

б) Найти, по какой прямой пересекаются плоскости АDС  и МВС.

Плоскость АDС – это боковая грань пирамиды АDС. Рассмотрим, что собой представляет плоскость МВС. Три точки: и М, и В, и С – лежат в плоскости нижнего основания АВС. Так что плоскость МВС – это плоскость АВС. Значит, линией пересечения является прямая АС, потому что и точка А, и точка С лежат одновременно в двух плоскостях АВС и АDС.

Ответ: АС.

в) Плоскость ВDК совпадает с плоскостью ВDN. И в плоскости ВDN и в плоскости АDС содержатся и точка D, и точка N. Значит, линия пересечения двух плоскостей – прямая DN.

Ответ: DN

г) Обе плоскости МDN и АВD содержат и точку М и точку D. Значит, их линия пересечения – прямая DМ.

Ответ: DМ.

Предыдущая серия задач на треугольную пирамиду касалась пересечения различных двух плоскостей. Следующие задачи будут посвящены пересечению трех плоскостей.

 

Решение задачи 2

 

 

Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6.). Назовите три разные плоскости, которым принадлежат:

 

а) точка А

б) точка В

в) точка N

Ответ:

а) АВD, АСD, АВС.

б) ВАС, ВАD, ВСD.

в) NВD, АВС, NМD.

а) Точка А принадлежит следующим трем различным плоскостям: АВD – первая плоскость, АСD – вторая плоскость и АВС – третья плоскость.

Пояснение: означенные три плоскости попарно пересекаются. Пересечение двух плоскостей есть прямая линия, пересечение вторых двух плоскостей – прямая линия. Значит, пересечение всех трех плоскостей – это точка А.

б) Аналогично точка В принадлежит следующим плоскостям: ВАС – нижней грани, ВАD – одной боковой грани и ВСD – второй боковой грани. Это вершина пирамиды. Здесь три плоскости очевидны.

в) Точка N– это внутренняя точка отрезка АС. Каким трем различным плоскостям принадлежит точка N?

Первая плоскость – NВD,  вторая плоскость – АВС и третья плоскость – NМD. Вот три различные плоскости, которые пересекаются в точке N.

 

Решение задачи 3

 

 

Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6). Через середины N, М, L сторон треугольника АВС проведена плоскость.

 

Совпадает ли она с плоскостью треугольника? 

Решение:

Рассмотрим плоскость АВС. Точка М принадлежит этой плоскости, потому что этой плоскости принадлежит вся прямая АВ, на которой лежит точка М. Аналогично заключаем, что точка N принадлежит плоскости треугольника и точка L принадлежит плоскости треугольника. Через три точки М, L и N можно провести единственную плоскость. Через три точки А, В, С тоже можно провести единственную плоскость. И эта плоскость одна и та же.

Ответ: совпадает.

 

Решение задачи 4

 

 

Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 7.).

 

Рис. 7.

Каково взаимное расположение плоскостей, проходящих через прямые:

а) АВ и ВС, СD и ВС;

б) АВ и ВС, АD и СD?

Решение:

а) По теореме 2, через две пересекающиеся прямые АВ и ВС, проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость АВС. Через вторые две пересекающиеся прямые СD и ВС также по теореме 2 проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость ВСD. Они пересекаются по прямой ВС. 

Ответ: плоскости пересекаются по прямой ВС.

б) АВ и ВС, две прямые, которые пересекаются в точке В. Через них проходит единственная плоскость, плоскость АВС.

АD и СD – две прямые, которые пересекаются в точке D, значит, через них, через прямые АD и СD проходит единственная плоскость АDС. Эти плоскости пересекаются по прямой АС, так как точка А принадлежит обеим плоскостям и точка С принадлежит обеим плоскостям.

Ответ: плоскости пересекаются по прямой АС.

 

Итоги урока

 

 

Итак, стереометрия помогла нам в решении задач в треугольной пирамиде.

 

Далее мы применим те же знания для решения задач в параллелепипеде.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Obmir.ru (Источник).

2. Якласс (Источник).

3. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6.). Найти, по какой прямой пересекаются:

а) плоскости DLC и АMN

б) плоскости BLM и ADC

в) плоскости MDC и АDС

2. Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6.). Назовите три разные плоскости, которым принадлежат:

а) точка M

б) точка D

в) точка C

3. Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 8.). Каково взаимное расположение плоскостей, проходящих через прямые:

а) BL и ВD, AB и AС;

б) АL и AD, АB и BD?

Рис. 8.

4. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

Задание 12, стр. 10.