Математика

 

 

Тема: Тригонометрические функции

 

Урок: Тригонометрические функции углового аргумента

 

1. Тема урока, введение

 

 

Мы изучали тригонометрические  функции числового аргумента  Но аргументом  может быть и угол.

 

 

2. Возникновение тригонометрических функций: задача о дереве

 

 

Полезно вспомнить, откуда взялась необходимость введения новых терминов – синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

 

Задача.

a) Необходимо вычислить высоту дерева, не залезая на него.

Решение:

Рассмотрим  Наблюдатель из точки может измерить длину катета может измерить угол  может выставить уменьшенное дерево  известной высоты  (рис. 1).

Обозначим искомую высоту дерева  

Рассмотрим  

Отношение  зависит только от величины угла, и это отношение назвали тангенсом угла

Ответ:

b) Найти расстояние до недоступной вершины B.

Решение:

Обозначим искомое расстояние за  Это гипотенуза  В  обозначим гипотенузу  (рис. 1).

Из подобия  следует, что

Отношение  зависит только от величины угла  это отношение назвали косинусом угла

Ответ:

Мы нашли высоту дерева и расстояние от наблюдателя до вершины дерева, не залезая на него. Но для этого потребовалось ввести некоторые величины, которые зависят только от величины угла и определяют его. Это тангенс и косинус этого угла.

 

3. Введение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике

 

 

Вспомним, как вводятся все тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике (рис. 2).

 

Из определения следует важное правило для нахождения неизвестных элементов

 

4. Связь между числовым и угловым аргументом

 

 

Ранее мы изучали тригонометрические функции числового аргумента. Покажем, что между числовым и угловым аргументом нет никакого противоречия.

 

Рассмотрим единичную окружность в координатной плоскости.

Зададим произвольное число  и получим единственную точку

Точка  имеет две координаты:

Координату  назвали косинусом числа  координату  синусом числа

(рис. 3).

 

Покажем связь между углом  и числовым аргументом  Угол  можно измерять в градусах и радианах. Мы будем измерять в радианах. Тогда действует формула:

Угол выраженный в радианах, можно рассматривать как геометрическую интерпретацию числового аргумента

Рассмотрим  

Они подобны как прямоугольные с одинаковым углом  (рис. 3).

Из подобия треугольников также следует, что

Рассмотрим еще одно подобие, из которого найдем, что касательная, проходящая через точку P, может называться линией тангенсов (рис. 4).

 

Из

Рассмотрим подобие  (рис. 5).

 касательная к окружности в т.

 как прямоугольные, имеющие одинаковый угол  (ÐРравны как накрест лежащие при параллельных прямых).

Из

 линия котангенсов.

 

5. Вывод, заключение

 

 

Мы рассмотрели тригонометрические функции углового аргумента. Вспомнили истоки появления новых терминов – синуса, косинуса, тангенса, котангенса, и рассмотрели связь между числовым и угловым аргументом.

 

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 15.5, 15.6, 15.10.

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).