Математика

Введение

 

На прошлом уроке мы рассмотрели основные свойства функции  и сейчас используем их при решении задач.

 

 

Поведение функции y=sint на промежутке [-π/2; π/2]

 

 

Подробно рассмотрим поведение функции на промежутке и отметим основные точки (рис. 1).

 

Теперь те же точки поместим в числовую окружность на отрезке  (рис. 2).

Отметим некоторые особенности функции  при

1) Монотонное возрастание функции от  до

2) Функция пробегает все свои возможные значения,

 

Решение типовых задач

 

 

Рассмотрим несколько задач, при решении которых очень важное значение имеет монотонность функции.

 

Задача 1.

a) Найти наибольшее значение функции на отрезке

Решение:

Функция монотонно возрастает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на правом конце отрезка,   (рис. 3).

b) Найти наименьшее значение функции  на отрезке

Решение:

Функция монотонно возрастает на указанном отрезке, значит, наименьшее значение принимает на его левом конце,   (рис. 3).

Ответ: a) 1;  b)

Задача 2. Если аргумент меняется в заданных пределах, то найдите, в каких пределах меняется функция . Найти наименьшее и наибольшее значение функции.

a) 

Решение:

Функция  монотонно возрастает на  отрезке  значит,

 (рис. 4).

Ответ:

b) 

Решение:

На заданном промежутке функция немонотонна (рис. 5).

На графике мы видим, что функция меняется в пределах

Ответ:

Задача 3. Найти количество решений уравнения  на промежутке

Решение:

На заданном промежутке функция монотонна, значит, каждое свое значение она принимает при единственном значении аргумента (рис. 1). Поэтому уравнение на данном отрезке имеет единственное решение.

 

Монотонность функции на промежутке [-π/2; π/2]

 

 

Важнейшая особенность функции  на отрезке  монотонность функции. Поэтому и прямая и обратная задачи тут имеют одно решение.

 

1. Прямая задача – заданному значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Например:

2. Обратная задача – заданное значение монотонной функции достигается только при одном значении аргумента.

Например: Если

Если

Если

Задача 4. Построить график функции

Решение:

Построим график функции  В силу периодичности достаточно будет рассмотреть график на участке

Для получения искомого графика кривую  необходимо сдвинуть на  вправо по оси x (рис. 6).

Вспомним общее правило: Кривая  получается сдвигом кривой  на  вправо по оси x.

Задача 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке

Решение (рис. 7).

Ответ:

 

Задачи на преобразование графиков функций

 

 

Задача 6. Найти пределы изменения функции  на отрезке

 

Решение (рис. 8).

Ответ:

Задача 7. Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнения имеют хотя бы одно решение.

a) 

b)  

Решение:

a) Решим задачу графическим способом.

Построим график функции  на участке Для этого необходимо построить график функции  отобразить его симметрично относительно оси x и сдвинуть на 1 вверх по оси y (рис. 9).

Чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, график должен пересекаться прямой  хотя бы в одной точке.

Ответ:

b) Построим график функции  (рис. 10).

Ответ:

Задача 8. Найти число решений уравнения

Решение:

Построим в одних координатных осях графики функций

График функции  парабола , сдвинутая на  вправо по оси x (рис. 11).

На промежутке  возрастает, а убывает. Значит, на этом промежутке есть только одно решение уравнения .

На промежутке   убывает, возрастает, значит, решение уравнения на этом промежутке также единственное. Всего уравнение имеет два решения.

Ответ: Два решения.

Задача 9. Решить уравнение

Решение:

Построим графики функций  (рис. 12).

На рисунке видно, что построенные графики функций имеют только одну общую точку с абсциссой

Ответ:

 

Вывод, заключение

 

 

Мы рассмотрели график функции  подробно изучили особенности ее поведения на промежутке  использовали особенности и свойства функции при решении задач, в том числе и задач с параметром.

 

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред.

А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.10, 16.27 – 16.31, 16.42.

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).