Математика

 

 

Тема: Тригонометрические функции

 

Урок: Функция y=cost, её свойства, график и типовые задачи

 

1. Тема урока, введение

 

 

На прошлом уроке мы построили график функции, осуществив сдвиг кривой на влево, и рассмотрели свойства функции  Сейчас мы детализируем эти свойства и применим их к решению важнейших типовых задач.

 

 

2. Поведение и особенности функции y=cost на промежутке [0; π]

 

 

Рассмотрим поведение функции  и отметим важнейшие точки на промежутке

 

В координатной плоскости (рис. 1).

На числовой окружности (рис. 2).

Сформулируем основные особенности функции  при

1. Функция монотонно убывает от  до

2. Функция принимает все значения из отрезка

3. Каждое свое значение функция принимает при единственном значении аргумента (следует из монотонности функции).

 

3. Решение задач

 

 

Задача 1. Найти пределы изменения функции  на данном отрезке.

 

1) 

Рис. 3.

На заданном отрезке функция монотонно убывает, значит, наименьшее значение принимает на правом конце.

Ответ:

2) 

Рис. 4.

Функция монотонно убывает.

Ответ:

3) 

Рис. 5.

На данном промежутке функция немонотонна.

Ответ:

Монотонность функции означает, что не только каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, но и обратное – каждое значение функции достигается при единственном значении аргумента.

Например:

Если  единственное решение на промежутке   

Если

Сколько решений имеет уравнение  на промежутке   Одно, также в силу монотонности.

Задача 2. Найти все значения параметра  при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение:

1) 

2) 

Решение:

1) Построим график функции  (рис. 6).

Уравнение  имеет хотя бы одно решение при

В данном случае множество значений параметра совпадает со множеством значений функции.

Ответ:

2) Решим другим способом, используя область значений функции

Ответ:

Задача 3. Решить уравнение

Решение:

Построим в одних координатных осях графики функций  (рис. 7).

Графики имеют только одну общую точку

Решим уравнение еще одним способом.

Ответ:

Задача 4. Найти число корней уравнения

Решение (рис. 8).

На промежутке  функция  монотонно возрастает, функция  монотонно убывает. Это значит, что на данном промежутке графики имеют только одну общую точку.

На промежутке  функция  убывает, функция возрастает, значит, и на этом промежутке графики также имеют только одну общую точку.

Ответ: Два корня.

 

4. Вывод, заключение

 

 

Мы рассмотрели и детализировали свойства функции  и использовали их при решении задач. В дальнейшем рассмотренные свойства будут неоднократно использоваться.

 

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 16.13, 16.33 – 16.35, 16.43.

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).