Математика

 

 

Тема: Тригонометрические функции

 

Урок: Как построить график функции y=f(kx) если известен график функции y=f(x). Примеры построения

 

1. Тема урока, введение

 

 

На предыдущем уроке мы вывели правило построения графика функции  по известному графику для  Точку пересечения с осью y мы оставляли без изменения, остальные точки кривой сжимали или растягивали в k раз вдоль оси x. Приведем пример и распространим правило на случай

 

 

2. Построение графика функции y=f(kx), k>0

 

 

Задача 1. Построить график функции  если известен график функции

 

Решение:

Рис. 1.

Происходит сжатие кривой  к оси y в 2 раза. Если на участке  исходная функция укладывается ровно в одну полную волну, то новая функция, имеющая период , уложится 2 раза.

График функции  можно построить и другим способом. Возьмем участок графика на промежутке  и произведем сжатие к оси y в 2 раза. Получим точки  которые ограничивают полуволну новой кривой (рис. 2).

С помощью полученной полуволны несложно построить график функции  на всей области определения.

 

3. Построение графика функции y=f(-x)

 

 

Мы привели пример построения графика функции  при  

 

Получим кривую  из кривой

Возьмем точку  на графике, и противоположную ей точку   В точке   значение функции равно

Таким образом, точка A переходит в точку B:

(рис. 3).

Графики функций  и  симметричны относительно оси y.

 

4. Построение графика функции y=f(kx), k<0

 

 

Перейдем к построению графика функции

 

Если  то

Необходимо сделать следующее:

1. Сжать исходную кривую  к оси y с коэффициентом  Получим кривую

2. Отобразить симметрично кривую  относительно оси y. Получаем искомую кривую

Пример: Построить график функции

Решение.

Функция косинус – четная, значит, выполняется равенство:

Нам необходимо построить график функции

Построим одну полуволну графика (рис. 4):

a) 

b)  растяжение в 3 раза вдоль оси y.

c)  симметричное отображение относительно оси x.

d)  сжатие к оси y в 2 раза.

Мы получили одну полуволну графика, с ее помощью строим график функции  на всей области определения (рис. 5).

 

5. Вывод, заключение

 

 

Мы рассмотрели правило получения графика функции  по известному графику Преобразования графиков будут использованы на следующем уроке при изучении гармонических колебаний.

 

 

Список литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. . Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

№№ 17.7 – 17.9, 18.7.

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Математика (Источник).

2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).

3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).