Математика

Многогранники. Призма, параллелепипед, пирамида

 

Многоугольник на плоскости – это фигура, которая получается при пересечении нескольких прямых (треугольник – трех и т. д.).

 

В пространстве при пересечении плоскостей ограничивается его часть, которую называют многогранником. Как бы мы ни пересекли многогранник плоскостью, в сечении получится многоугольник (см. рис. 1).

Рис. 1. Сечение многогранника представляет собой многоугольник

Почему мы изучаем многогранники и их свойства? Как и в случае с многоугольниками, мы должны изучать объекты, которые, с одной стороны, можем изучить, а с другой – можем использовать для приближения более сложных объектов произвольной формы.

Минимальный многоугольник (с наименьшим возможным количеством сторон) – это треугольник. А каково минимальное количество граней у многогранника? То есть сколькими плоскостями можно отделить часть пространства?

Как бы мы ни пересекали три плоскости, создать замкнутую область не получится.

А вот четырех плоскостей вполне достаточно. Мы получаем многогранник с четырьмя гранями, то есть четырехгранник. Но обычно его называют тетраэдр, что по-гречески и означает четырехгранник (см. рис. 2). Иногда примеры тетраэдров можно встретить на полках магазинов – так упаковывают молоко (см. рис. 3).

Рис. 2. Тетраэдр

Рис. 3. Пример тетраэдра в жизни

Вершины многогранников, как и у многоугольников, обозначаются большими латинскими буквами. Указывая конкретный многогранник, нужно указать его тип и перечислить все вершины. Например, тетраэдр  (см. рис. 4).

Рис. 4. Тетраэдр

Увеличивая количество граней, мы получим многообразие многогранников: от очень простых до изощренных, изобразить которые будет достаточно сложно (см. рис. 5).

Но для изучения их свойств мы сможем разбивать их на более простые многогранники, которые смогли подробно изучить (см. рис. 6). Для успешного изучения свойств многогранников их нужно классифицировать и выбрать самые простые.

Рис. 5. Многообразие многогранников

Рис. 6. Пример разбиения многогранника на более простые

Когда мы начали классифицировать многоугольники, то поделили их на два типа: выпуклые и невыпуклые (см. рис. 7). Если многоугольник лежал по одну сторону от любой прямой, которая содержала его сторону, мы называли такой многоугольник выпуклым. Соответственно, если хотя бы одна из прямых разбивала многоугольник на части, мы называли его невыпуклым.

Рис. 7. Выпуклый и невыпуклый многоугольники

Иначе это же свойство формулировалось так: если для двух точек, лежащих внутри многоугольника, отрезок, их соединяющий, тоже целиком лежит внутри, то такой многоугольник выпуклый.

Ровно такой же подход используется в случае многогранников. Их точно так же делят на две группы: выпуклые и невыпуклые (см. рис. 8). Если в многограннике провести плоскость через любую грань и весь многогранник всегда будет оставаться с одной стороны, то такой многогранник будет выпуклым (см. рис. 9). Если хотя бы одна такая плоскость «разрезает» многогранник, то он невыпуклый (см. рис. 10).

Рис. 8. Выпуклый и невыпуклый многогранники

Рис. 9. Весь многогранник находится с одной стороны от плоскости

Рис. 10. Плоскость «разрезает» многогранник

Либо можно использовать второе определение, как и в случае с многоугольниками. У выпуклого многогранника вместе с любыми двумя точками, ему принадлежащими, ему принадлежит и весь отрезок, их соединяющий (см. рис. 11). В дальнейшем мы будем заниматься только выпуклыми многогранниками как более простыми.

Рис. 11. Выпуклый и невыпуклый многогранники

Среди выпуклых многогранников мы выделим две группы наиболее простых. Это призмы и пирамиды (см. рис. 12). Это не значит, что других выпуклых многогранников не бывает. Бывает. Мы с некоторыми познакомимся, но основное внимание уделим именно призмам и пирамидам.

Рис. 12. Пирамида и призма

Возьмем два равных многоугольника и расположим один строго над другим, вершина над вершиной. Соединим попарно соответствующие вершины многоугольников (расположение один над другим означает, что все вертикальные отрезки перпендикулярны сторонам основания). Полученный многогранник называется прямой призмой.

Рис. 13. Прямая призма

Две грани, образованные равными многоугольниками, называются нижним основанием и верхним основанием. Остальные грани называются боковыми гранями (см. рис. 14). Все боковые грани являются прямоугольниками, боковые ребра равны друг другу.

Рис. 14. Элементы прямой призмы

Теперь сдвинем верхнее основание (крышку) в сторону, но без поворота и наклона. Боковые ребра наклонятся в одну сторону, но сохранят параллельность друг другу. Боковые грани теперь не прямоугольники, а параллелограммы. Получившийся многогранник называется наклонной призмой (см. рис. 15).

Рис. 15. Наклонная призма

Если мы повернем одно основание относительно другого, перекрутим нашу призму, то она перестанет считаться призмой. Более того, если хорошо присмотреться, то наш многогранник перестанет быть даже выпуклым (см. рис. 16). Такие многогранники мы рассматривать уже не будем.

Рис. 16. Невыпуклый многогранник

Итак, теперь дадим четкое определение.

Призма – это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник – треугольная призма, четырехугольник – четырехугольная; одиннадцатиугольник – одиннадцатиугольная и т. д. (см. рис. 17).

Рис. 17. Треугольная, четырехугольная и одиннадцатиугольная призмы

Не путайте количество вершин у призмы и количество вершин у одного основания.

У одиннадцатиугольной призмы 22 вершины – 11 снизу и 11 сверху (см. рис. 18).

Рис. 18. У одиннадцатиугольной призмы 22 вершины

Если в основании лежит правильный многоугольник, а сама призма прямая, то призма называется правильной.

Например, если в основании прямой призмы лежит правильный треугольник, то есть равносторонний, то мы имеем дело с правильной треугольной призмой. Если в основании прямой призмы лежит правильный четырехугольник, т. е. квадрат, то призма называется правильной четырехугольной (см. рис. 19).

Рис. 19. Правильные треугольная и четырехугольная призмы

Для любого предмета, который стоит у нас на столе, можно ввести понятие высоты. Поскольку нас обычно интересуют крайние состояния – например, пройдет ли предмет в дверной проем, то высотой предмета логично считать расстояние от стола до самой верхней точки.

Если призму поставить на стол на нижнее основание, то все точки верхнего основания будут находиться на одной высоте как у прямой, так и у наклонной призмы. То есть высота призмы – это расстояние от любой точки верхнего основания до плоскости нижнего основания (см. рис. 20, 21).

Рис. 20. Высота прямой призмы

Рис. 21. Высота наклонной призмы

В прямой призме любое боковое ребро является высотой. В наклонной призме это не так. Более того, основание высоты в наклонной призме может вообще оказаться вне нижнего многоугольника. Подобная ситуация нам встречалась, например, с треугольником, когда высота проводится не основанию треугольника, а к его продолжению.

Призмой с минимальным количеством граней является треугольная призма. На уроках физики, изучая тему преломления света, вы рассматривали разложение пучка белого света в спектр. Там использовалась треугольная призма. Но в быту не так много предметов имеют эту форму.

Зато четырехугольные призмы окружают нас буквально повсюду. А если конкретно, прямые призмы, в основании которых лежит прямоугольник. Такую форму имеет кирпич, смартфон, книга, спичечный коробок и многое другое. В силу такой важности этой формы для нее и ее элементов придумали отдельные названия.

Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом (см. рис. 22).

Рис. 22. Параллелепипед

Легко понять, что у параллелепипеда не только основания являются параллелограммами, но и все боковые грани. Поэтому можно дать другое определение: параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются параллелограммами.

Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны основаниям, то его называют прямым параллелепипедом (см. рис. 23).

Рис. 23. Прямой параллелепипед

То есть смысл понятий «прямая призма» и «прямой параллелепипед» одинаков.

Боковые грани прямого параллелепипеда являются уже не просто параллелограммами, а прямоугольниками. Обратите внимание, что в основании прямого параллелепипеда у нас пока продолжает лежать произвольный параллелограмм.

Если в основании прямого параллелепипеда тоже лежит прямоугольник, т. е. все грани стали прямоугольниками, то такой параллелепипед называется прямоугольным (см. рис. 24).

Рис. 24. Прямоугольный параллелепипед

Аналогии с плоскими фигурами здесь тоже провести очень просто. Параллелепипед – это аналог параллелограмма, прямой параллелепипед – аналог прямоугольника, куб – это аналог квадрата. Все шесть его граней являются равными квадратами.

Подобно тому как квадрат является примером правильного многоугольника, куб – это правильный многогранник. Подробнее свойства правильных многогранников мы рассмотрим на следующем уроке.

Второй группой выпуклых многоугольников, которые мы рассмотрим, являются пирамиды. Возьмем произвольный многоугольник, расположим его горизонтально. Он будет основанием пирамиды. Где-то выше выберем точку, она будет вершиной.

Соединим ее со всеми вершинами основания. Полученный многогранник называется пирамидой (см. рис. 25). Кроме основания, все остальные грани называются боковыми.

Рис. 25. Пирамида

Тип многоугольника в основании определяет название пирамиды. Если в основании треугольник, то это треугольная пирамида. Мы с ней уже встречались. Другое название треугольной пирамиды – тетраэдр, что означает четырехгранник (см. рис. 26).

Рис. 26. Треугольная пирамида (тетраэдр)

Если в основании четырехугольник, то пирамида называется четырехугольной (см. рис. 27).

Рис. 27. Четырехугольная пирамида

Независимо от того, какой многоугольник лежит в основании, все боковые ребра пирамиды – это треугольники.

Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой пирамиды (см. рис. 28).

Рис. 28. Высота пирамиды

Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник и вершина находится ровно над его центром, т. е. высота опускается в центр основания, то такая пирамида называется правильной (см. рис. 29).

Рис. 29. Правильная пирамида

Знаменитые египетские пирамиды являются правильными четырехугольными пирамидами. В основании любой египетской пирамиды лежит квадрат, а высота проектируется в центр этого квадрата.

Все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками, которые равны друг другу.

 

Объем призмы и пирамиды

 

 

Одной из основных характеристик фигур на плоскости была площадь – она показывала, какую часть площади занимает фигура. В пространстве такой характеристикой, как мы знаем, является объем – чем больше места тело занимает в пространстве, тем больше у него объем. Попробуем вычислить объемы рассмотренных нами тел – призмы и пирамиды.

 

На плоскости базовой единицей площади была площадь квадрата со стороной 1 – мы приняли площадь такого квадрата за 1 кв. ед. Аналогично в пространстве за базовую единицу объема принимают объем единичного куба – его объем считают равным 1 куб. ед. (см. рис. 30).

Рис. 30. Куб объемом 1 куб. ед.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед. Из одной его вершины выходят три ребра. Их называют длиной, шириной и высотой. Или общим названием – измерения. Прямоугольный параллелепипед однозначно задается тремя своими измерениями (см. рис. 31).

Рис. 31. Измерения прямоугольного параллелепипеда:  – длина,  – ширина,  – высота

Определение объема тела как количества единичных кубов или его частей, помещающихся в это тело, легко приводит нас к формуле объема прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда всегда равен произведению его длины, ширины и высоты, то есть трех его измерений.

Следующее ответвление про аксиомы, которые используются для строгого определения понятия объема, обязательно к просмотру для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

---

 

Аксиоматический подход к определению объема

Рассмотрим строгое определение объема с использованием аксиом (по аналогии с аксиомами для определения площади). Поскольку каждому рассматриваемому нами телу в пространстве мы ставим в соответствие его объем, причем значение объема для данного тела единственно, то мы получаем функцию объема.

При этом она удовлетворяет следующим свойствам (которые мы принимаем без доказательства – это аксиомы):

1. Объем тела – положительное число (можно расширить до неотрицательного, например считать объем плоской фигуры равным ).
2. У равных, т. е. конгруэнтных тел (совпадают при совмещении) объемы будут равны (иначе бы мы получили нефункциональную зависимость).
3. Если тело разбить на конечное число других тел, у которых нет между собой общих частей, то объем исходного тела будет равен сумме объемов его частей.
4. Объем куба с ребром  равен  куб. ед.

Используя эти аксиомы, можно, например, доказать формулу объема прямоугольного параллелепипеда – для натуральных измерений просто разбиением на единичные кубы. Затем, для рациональных, разбиением на целую и дробную части. А затем и для иррациональных, используя приближение иррациональных чисел десятичными дробями.

Объем остальных тел можно будет вычислять, приближая их различными параллелепипедами.

---

Если  и  в формуле объема – это длина и ширина основания, а  – это высота параллелепипеда, то можно чуть изменить вид формулы:

Такой вид формулы удобен тем, что он подходит для большого класса фигур, а именно для всех призм, включая все параллелепипеды, и цилиндров.

Это похоже на ситуацию с площадями прямоугольника и параллелограмма. Площадь прямоугольника равна , то есть произведению основания на высоту. Если сдвинуть верхнюю часть в сторону, то мы получим параллелограмм. Легко увидеть, что площадь его не изменилась (см. рис. 32). У него слева отрезан треугольник и справа точно такой же приставлен. То есть площадь параллелограмма тоже равна произведению основания на высоту. Разница с прямоугольником только в том, что теперь боковая сторона не равна высоте и в параллелограмме ее нужно проводить отдельно.

Рис. 32. Площади прямоугольника и параллелограмма равны произведению основания на высоту

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями  (см. рис. 33).

Рис. 33. Прямоугольный параллелепипед с измерениями

Его объем равен:

Или:

Посмотрим на параллелепипед сверху и сдвинем одну сторону основания, превратив прямоугольник в параллелограмм, а прямоугольный параллелепипед – в просто прямой параллелепипед (см. рис. 34).

Рис. 34. Прямой параллелепипед

Изменился ли объем тела? Очевидно, нет. С одной стороны мы отрезали треугольную призму, а с другой приставили ровно такую же. При этом площадь основания тоже не изменилась.

Итак, ни объем, ни площадь основания, ни высота не изменились. Значит, осталась верна и формула:

При этом высота у нас пока совпадала с длиной бокового ребра. Нарушим и эту ситуацию.

Сдвинем верхнее основание в сторону. Превратим параллелепипед из прямого в наклонный (см. рис. 35).

Рис. 35. Наклонный параллелепипед

Очевидно, мы с одной стороны отрезали некое тело, но с другой стороны приставили ровно такое же. Объем тела не изменился. Не менялись при этом ни высота, ни площадь основания. Итак, объем произвольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

Если параллелепипед прямоугольный, то площадь основания равна , а высота равна . И формула принимает вид:

Далее можно показать, что и для объема произвольной призмы будет выполняться эта же формула:

Следующее ответвление про принцип Кавальери обязательно к просмотру для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

---

 

Принцип Кавальери

Отрезая от тела с одной стороны кусочки и приставляя их с другой стороны, можно научиться считать площади и объемы многих фигур. Но чем сложнее форма фигуры, тем сложнее это делать. Намного все станет легче, если применить подход итальянского математика XVII века Кавальери (то есть методу уже 400 лет) (см. рис. 36).

Рис. 36. Бонавентура Кавальери

Вернемся к площади прямоугольника и параллелограмма. Если бы мы спросили у Кавальери, почему площади этих двух фигур равны, он бы сказал, не потому что, слева отрезали треугольник и справа приставили, а потому что обе фигуры сложены из одинаковых отрезков (см. рис. 37).

Рис. 37. Площади двух фигур равны

То есть, если нарезать обе фигуры прямыми, параллельными основаниям, то всегда левый отрезок будет равен правому (см. рис. 38). То есть площади фигуры как бы вымощены одинаковым количеством отрезков одинаковой длины. Поэтому равны их площади.

Рис. 38. Левый отрезок равен правому

И вот такая третья фигура в соответствии с принципом Кавальери тоже имеет такую же площадь (см. рис. 39).

Рис. 39. Площади трех фигур равны

Этот же принцип Кавальери применял и для сравнения объемов тел. Если при нарезании двух тел параллельными плоскостями в сечении всегда получаются плоские фигуры одинаковой площади, то объемы тел равны (см. рис. 40).

Рис. 40. Объемы двух тел равны

Два тела, сложенные из одинаковых монеток, иллюстрируют этот принцип (см. рис. 41). Если поставить рядом два тела и знать объем одного из них, то можно получить объем второго, если удастся применить к ним принцип Кавальери.

Рис. 41. Два тела, сложенные из одинаковых монеток

Для получения формулы объема призмы принцип Кавальери очень удобен. Измерим объем произвольной призмы. Для этого поставим рядом с ней параллелепипед, площадь основания которого такая же, как у призмы. Высота тоже должна быть равна высоте призмы (см. рис. 42).

Рис. 42. Параллелепипед и произвольная призма с равными площадями оснований и высотами

Пересечем оба тела плоскостью, параллельной основанию. В сечении получаются такие же многоугольники, что лежат в основании тел (см. рис. 43). Но их площади равны. Тогда, по принципу Кавальери, объемы призмы и параллелепипеда равны и выражаются одинаковой формулой:

Эта формула верна для произвольной призмы, как прямой так и наклонной.

Рис. 43. В сечении получаются многоугольники, площади которых равны

---

Пример 1. Найти объем правильной треугольной призмы, каждое ребро которой равно  (см. рис. 44).

Рис. 44. Иллюстрация к примеру 1

Решение

Объем призмы вычисляется по формуле:

Так как призма правильная, то она прямая, следовательно, высота равна длине бокового ребра:

Основание – это правильный, т. е. равносторонний, треугольник. Площадь такого треугольника найдем через произведение сторон и синус угла между ними:

Вычислим объем призмы:

Ответ: .

Следующее ответвление про использование принципа Кавальери для вычисления объема пирамиды обязательно к просмотру для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

---

 

Объем пирамиды с использованием принципа Кавальери

Теперь, используя принцип Кавальери, попробуем получить формулу для вычисления объема пирамиды. Но у нас есть одна проблема. Когда мы выводили формулу объема призмы, у нас была эталонная призма – параллелепипед. Его объем мы уже знали. А для пирамиды такого эталона у нас нет. Попробуем его получить.

Рассмотрим куб со стороной . Его объем нам известен:

У куба 4 диагонали: каждую верхнюю вершину соединяем с противоположной нижней. В силу симметрии все они пересекутся в одной точке – центре куба (см. рис. 45).

Рис. 45. Диагонали куба пересекаются в одной точке

Куб разделился на  одинаковых пирамид с общей вершиной в центре куба и каждой гранью куба в качестве основания одной из них. Так как пирамид , то объем каждой равен  объема куба:

Выделим в этой формуле площадь основания  и высоту :

Итак, мы получили эталонную пирамиду (см. рис. 46).

Рис. 46. Эталонная пирамида

У четырехугольной правильной пирамиды с высотой, равной половине стороны основания, объем вычисляется по формуле:

Это легко понять, потому что из 6 таких одинаковых пирамид можно собрать куб.

Наша гипотеза состоит в том, что эта формула будет верна и для любой произвольной пирамиды.

Расширим чуть-чуть принцип Кавальери. На самом деле мы приблизим его к тому варианту, в котором его использовали сам Кавальери и его последователи.

Предположим, что при пересечении параллельными плоскостями двух тел все левые сечения в  раз больше в правых (см. рис. 47):

Рис. 47. Левые сечения в  раз больше в правых

Тогда, по принципу Кавальери, и объем левого тела в  раз больше объема правого:

В частном случае, если все сечения равны (т. е. ), то равны и объемы тел.

Рассмотрим произвольную пирамиду. Построим рядом с ней четырехугольную правильную пирамиду такой же высоты и стороной основания в два раза больше этой высоты (см. рис. 48). Объем такой пирамиды мы знаем:

Рис. 48. Произвольная и четырехугольная правильная пирамиды

Площади оснований пирамид связаны соотношением:

А теперь самый важный момент в рассуждении. Если мы пересечем пирамиды плоскостью, параллельной основанию, то для полученных сечений  и  это соотношение сохранится (см. рис. 49). Это понятно из следующих наблюдений: производя сечение, мы получаем многоугольник, подобный основанию. Т. е. левое сечение подобно левому основанию, а правое сечение – правому основанию:

Рис. 49. Соотношение сохраняется для сечений, полученных при пересечении пирамид плоскостью, параллельной основанию

Секущая плоскость делит высоты пирамид в одинаковом соотношении, но тогда, по теореме Фалеса, в таком же отношении делится и каждое ребро обеих пирамид, в таком же отношении находятся и стороны малого и большого многоугольника в каждой пирамиде. То есть сечения левой и правой пирамиды представляют собой основания, уменьшенные в одинаковое количество раз. Но тогда во сколько раз различались площади оснований пирамид, во столько раз будут отличаться и площади сечений. Таким образом, для всех таких сечений выполняется соотношение:

Тогда, по принципу Кавальери, во столько же раз различаются и объемы пирамид:

Но объем второй пирамиды мы знаем:

Итак, мы получили, что для любой пирамиды справедлива формула:

---

Объем произвольной пирамиды вычисляется по формуле:

Ее легко запомнить, если сравнить с формулой для призмы:

Если на верхнем основании призмы выбрать точку и соединить ее с вершинами нижнего основания, то мы получим пирамиду внутри призмы. Основания и высота у них будут одинаковы, при этом пирамида будет занимать  объема призмы (см. рис. 50).

Рис. 50. Пирамида занимает  объема призмы

Пример 2. Вычислить объем правильного тетраэдра с ребром  (см. рис. 51).

Рис. 51. Иллюстрация к примеру 2

Решение

Так как тетраэдр – это пирамида, то его объем вычисляется по формуле:

В качестве основания мы можем принять любую грань – они все одинаковые. Площадь равностороннего треугольника мы уже считали:

Осталось найти высоту пирамиды (см. рис. 52). Она падает в центр основания, который является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, значит, делит каждую медиану в соотношении , считая от вершины. Обозначим, чтобы не было путаницы, высоту пирамиды как , а высоту треугольника, лежащего в основании, – .

Рис. 52. Иллюстрация к примеру 2

Рассмотрим отдельно основание пирамиды. Проведем в нем высоту. Она находится как катет с гипотенузой  напротив угла в  (см. рис. 53):

Рис. 53. Иллюстрация к примеру 2

Высоту  пирамиды мы можем найти из прямоугольного треугольника, образованного этой высотой, ребром и  медианы основания (см. рис. 54). Изобразим этот треугольник отдельно (см. рис 55).

Рис. 54. Иллюстрация к примеру 2

Рис. 55. Иллюстрация к примеру 2

Один его катет – это  медианы основания. Его длина равна:

По теореме Пифагора находим второй катет:

Мы нашли высоту тетраэдра, осталось вычислить его объем:

Ответ: .

Если все линейные размеры плоской фигуры увеличить в  раз, то ее площадь увеличится в . У трехмерной фигуры объем увеличится в . Тогда результат задачи можно обобщить на случай правильного тетраэдра с произвольной длиной ребра. Если ребро правильного тетраэдра равно , то его объем вычисляется по формуле:

Большого смысла запоминать эту формулу нет. Лучше, когда вам попадется такая задача, решите ее заново.

 

Правильная пирамида. Усеченная пирамида

 

 

Мы уже говорили, что пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр основания. Боковыми ребрами правильной пирамиды являются равнобедренные треугольники, равные друг другу.

 

Здесь нужно отметить некую проблему терминологии. Есть правильные многогранники (см. рис. 56). У них все грани являются правильными многоугольниками, и они все равны друг другу. С этой точки зрения правильная четырехугольная пирамида не является правильными многогранником. Ведь у нее одна грань, основание, – это квадрат, а остальные грани – треугольники.

Рис. 56. Правильные многогранники

Даже правильная треугольная пирамида будет являться правильным многогранником только в том случае, когда ее боковые грани будут не просто равнобедренными, а равносторонними треугольниками. В планиметрии такого несоответствия терминов не возникало. Правильный пятиугольник, конечно, был правильным многоугольником.

Мы уже упомянули, но пока не доказали то, что боковые грани правильной пирамиды – это равные друг другу равнобедренные треугольники. Этот же факт можно сформулировать и короче: все боковые ребра правильной пирамиды равны друг другу.

В самом деле, в основании правильной пирамиды лежит правильный  угольник, а высота пирамиды опущена в центр этого -угольника (см. рис. 57). Все отрезки , где  – радиус описанной окружности основания.

Рис. 57. Правильная пирамида

Тогда все прямоугольные треугольники  равны по двум катетам.

Тогда все их гипотенузы , т. е. боковые ребра пирамиды равны. Следовательно, и все боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников. В самом деле, основания у них равны как стороны правильного многоугольника, а боковые – как боковые ребра правильной пирамиды.

Если у каждой боковой грани провести высоту, то все эти высоты окажутся равными, так как равны сами треугольники. Такая высота называется апофемой. Для произвольной пирамиды такой термин не используется, так как там не выполняется равенство высот боковых граней.

 произведения апофемы на сторону основания даст нам площадь одной боковой грани.

Умножив ее на количество граней, мы получим площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

где  – периметр основания,  – длина апофемы.

Если часть пирамиды отсечь плоскостью, параллельной основанию, то полученное тело называют усеченной пирамидой (см. рис. 58). Многоугольник, полученный в сечении, называется верхним основанием, а основание исходной пирамиды теперь называется нижним основанием.

Рис. 58. Усеченная пирамида

Так как плоскость бокового ребра оставляет на параллельных плоскостях оснований параллельные следы, то боковые ребра усеченной пирамиды представляют собой трапеции.

Если исходная пирамида была правильной, то полученная усеченная пирамида тоже называется правильной. Ее грани – равные равнобедренные трапеции, боковые ребра равны друг другу. Высоты трапеций равны друг другу и называются апофемами.

Формула боковой поверхности следует из формулы площади трапеции:

где  – периметры оснований,  – длина апофемы.

Предельным случаем для усеченной пирамиды будет призма. В самом деле, если увеличивать верхнее основание до размеров нижнего, то мы и получим призму (см. рис. 59).

Рис. 59. Правильная призма

Периметры сравняются, апофема превратится в высоту призмы, и мы получим формулу боковой поверхности призмы:

где  – высота призмы,  – периметр основания.

Конечно, чтобы ее получить, совершенно необязательно сравнивать ее с усеченной пирамидой. Ведь призма это объект, устроенный проще. Достаточно в уме сделать развертку боковой поверхности призмы. Получится прямоугольник со сторонами  и  (см. рис. 60).

Рис. 60. Развертка боковой поверхности призмы

 

Пространственная теорема Пифагора

 

 

Мы уже много говорили об аналогах объектов или фактов из планиметрии в стереометрии. Плоская теорема Пифагора имеет аналоги и в стереометрии.

 

Первый аналог достаточно прост. Если теорему Пифагора переформулировать в том смысле, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон (т. е. двух измерений), то аналогичное утверждение мы имеем для диагонали прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 61): квадрат диагонали грани равен сумме квадратов двух измерений:

Рис. 61. Прямоугольный параллелепипед

Квадрат диагонали самого параллелепипеда равен сумме квадратов диагонали грани и квадрату третьего измерения, т. е. в итоге сумме квадратов всех трех измерений:

Получаем утверждение, очень похожее на плоскую теорему Пифагора:

По сути мы далеко не ушли от плоской теоремы и применили ее два раза.

Рассмотрим другую ситуацию. Аналогом прямоугольного треугольника является такой тетраэдр, у которого три ребра , исходящие из вершины , взаимно перпендикулярны (см. рис. 62).

Рис. 62. Тетраэдр

Чтобы лучше себе его представить, мысленно отрежьте от прямоугольного параллелепипеда один кусочек около угла (см. рис. 63). Отрезанная часть и будет нужным тетраэдром. Точно так же можно получить прямоугольный треугольник, отрезав кусочек от прямоугольника.

Рис. 63. Прямоугольный параллелепипед

Поставим тетраэдр на плоскость среза  (см. рис. 64). Сверху у нас трехгранный угол , все три плоских угла которого прямые.

Рис. 64. Тетраэдр поставлен на плоскость среза

Обозначим левую грань  и ее площадь через , грань  – через , грань  – через . Нижнюю грань  и ее площадь обозначим как . Чтобы совсем закончить аналогию с прямоугольным треугольником, можно сказать, что грани ,  и  аналогичны катетам, а нижняя грань похожа на гипотенузу. Так их и назовем – катетные грани  и гипотенузная грань .

Пространственная теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов площадей катетных граней равна квадрату площади гипотенузной грани:

Правда, очень похоже на плоскую теорему Пифагора? Принцип доказательства разберем сначала на плоской теореме, а потом почти без изменений применим его к пространственной. Итак, докажем плоскую (обычную) теорему Пифагора.

Доказательство (теорема Пифагора)

Поставим прямоугольный треугольник на гипотенузу (см. рис. 65).

Рис. 65. Иллюстрация к доказательству

Докажем, что квадрат гипотенузы равен квадрату катетов. Опустим высоту из вершины прямого угла (см. рис. 66). Важно, что высота падает внутрь гипотенузы, а не на ее продолжение. Это следует из того, что углы  и  острые (см. рис. 67).

Рис. 66. Иллюстрация к доказательству

Рис. 67. Иллюстрация к доказательству

Высота разбивает гипотенузу на два отрезка,  и  (см. рис. 68).

Рис. 68. Иллюстрация к доказательству

Катет  – это проекция гипотенузы  на прямую . В этом легко убедиться, если поставить треугольник на катет . Аналогично катет  – это тоже проекция гипотенузы.

Длина проекции наклонной равна длине наклонной на косинус угла между ними:

Конечно, эти равенства не что иное, как определение косинуса угла. Но нам важно акцентировать внимание на проекциях, потому что потом мы будем делать то же самое в пространственной теореме. Отрезки  и  сами являются проекциями  и , тогда:

Смотрите, что мы сделали: мы гипотенузу  спроектировали с помощью угла , получили катет . А потом еще раз спроектировали с помощью того же угла обратно на прямую , получили отрезок . Поэтому и получается, что если гипотенузу умножить два раза на косинус , то получим отрезок . Аналогично с углом  и отрезком .

Но отрезки  и  в сумме дают гипотенузу :

Откуда мы делаем вывод, что выражение в скобках:

Кто видит, что , понимает, что мы получили основное тригонометрическое тождество. Зачем нам было так долго к нему идти, раз оно у нас уже есть? Все просто: мы его получили в свое время, используя теорему Пифагора, поэтому его никак нельзя было задействовать для доказательства этой самой теоремы Пифагора. А здесь мы использовали только определение косинусов.

Вернемся к катетам:

Возведем их в квадрат и сложим:

Выражение в скобках равно , как мы уже выяснили, следовательно:

Доказано.

У теоремы Пифагора огромное количество способов доказательства, и это не самое быстрое, но его прелесть в том, что оно подходит и для пространственной теоремы.

Доказательство (пространственная теорема Пифагора)

Угол между первой катетной гранью и гипотенузной гранью обозначим , между второй и гипотенузной –  и между третьей и гипотенузной  (см. рис. 69).

Рис. 69. Иллюстрация к доказательству

Теперь нам нужно опустить высоту из точки  на нижнюю гипотенузную грань. Хочется понять, попадет ли она внутрь треугольника . Это зависит от двугранных углов ,  и . Если они все меньше , то точка  находится над треугольником  и ее проекция попадает внутрь треугольника. Оценим и угол между первой и нижней гранью. Чтобы это сделать, нам нужен плоский угол. Нужны два перпендикуляра к ребру .

Проведем в нижней плоскости перпендикуляр , т. е. высоту треугольника .

В первой грани проведем отрезок . Он тоже будет перпендикуляром к  (см. рис. 70).

Чтобы это увидеть, опрокинем тетраэдр на первую грань (см. рис. 71).

Рис. 70. Иллюстрация к доказательству

Рис. 71. Иллюстрация к доказательству

 – перпендикуляр к плоскости 1.  – наклонная и она перпендикулярна к прямой , тогда проекция наклонной тоже будет ей перпендикулярна к  по теореме о трех перпендикулярах (см. рис. 72).

Рис. 72. Иллюстрация к доказательству

Тогда угол  и есть угол между плоскостями. Но он острый, так как  – прямоугольный треугольник.

Вернем тетраэдр в исходное положение. Уберем точку  – она сыграла свою службу (см. рис. 73).

Рис. 73. Иллюстрация к доказательству

Итак, угол  острый. Аналогично острыми будут и остальные два угла,  и .

Тогда точка  проектируется в точку  внутри треугольника (см. рис. 74).

Рис. 74. Иллюстрация к доказательству

Площадь ортогональной проекции фигуры равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями фигуры и проекции. Здесь полная аналогия длины проекции и длины наклонной.

Проекцией первой катетной грани  на нижнюю (гипотенузную)  будет треугольник , его площадь тоже обозначим . Проекцией второй катетной грани  на  будет треугольник , проекцией третьей катетной грани  на  будет треугольник  (см. рис. 75). Тогда их площади связаны соотношениями:

Рис. 75. Иллюстрация к доказательству

Но катетные грани сами являются проекциями гипотенузной грани. Чтобы это увидеть, достаточно опрокинуть тетраэдр на каждую катетную грань (см. рис. 76).

Рис. 76. Иллюстрация к доказательству

Подставим последние равенства в предыдущие:

То есть мы провели точно такую же процедуру, что и в плоском случае. Нижнюю гипотенузную грань  ортогонально спроектировали с помощью угла , получили грань , потом еще раз и получили треугольник . Аналогично с другими гранями.

Но  – это вся нижняя грань :

Делаем вывод – выражение в скобках равно

Вернемся к выражению для катетных граней:

Возведем их в квадрат и сложим:

Так как выражение в скобках равно , получаем:

Доказано.

 

Заключение

Попробуйте самостоятельно доказать плоскую теорему Пифагора тем способом, что мы рассмотрели в уроке. Это само по себе очень полезно. Работа с проекциями вам очень нужна в физике, когда вы раскладываете векторные величины (скорости, силы и т. п.) по взаимно перпендикулярным осям. К тому же, у вас будет в голове хотя бы одно доказательство теоремы Пифагора, если вы не помните других. После плоской теоремы докажите пространственную теорему. Как вы видели, ход рассуждения при ее доказательстве совпадает почти дословно с доказательством плоской теоремы.

 

Список литературы

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – М.: АО «Издательство “Просвещение”».
2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11класс. Учебник. – ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. – М.: АО «Издательство “Просвещение”».

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети интернет

1. Интернет-портал bymath.net
2. Интернет-портал ege-study.ru
3. Интернет-портал ru.solverbook.com

 

Домашнее задание

1. Доказать, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам.
2. Площадь основания прямой треугольной призмы равна , а площади боковых граней . Найти объем призмы.
3. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны  и , а боковое ребро равно . Найти высоту пирамиды.