Математика

Введение

 

С помощью этого урока все желающие смогут самостоятельно познакомиться с темой «Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы».

 

 

Определение многогранника

 

 

Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

 

 

Примеры многогранников

 

 

Рассмотрим следующие примеры многогранников:

 

1. Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС, ADB, BDC и ADC (рис. 1).

Рис. 1

2. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ – это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).

Рис. 2

 

Основные элементы многогранников

 

 

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

 

Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.

Ребра – это стороны граней.

Вершины – это концы ребер.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 2).

Грани: параллелограммы АА₁D₁D, D₁DСС₁, ВВ₁С₁С, АА₁В₁В, ABCD, A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁,B₁,C₁,D₁. 

 

Треугольная призма

 

 

Важным частным случаем многогранника является призма.

 

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 3).

Рис. 3

Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁ расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны.

То есть АВСА₁В₁С₁ – треугольная призма, если:

1) Треугольники АВС и А₁В₁С₁  равны.

2) Треугольники АВС и А₁В₁С₁  расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC║А₁B₁C (α ║ β).

3) Ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны.

АВС и А₁В₁С₁ – основания призмы.

АА₁, ВВ₁, СС₁ – боковые ребра призмы.

Если с произвольной точки Н₁ одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН₁ на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.

Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – наклонной.

 

Прямая призма

 

 

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 4). Эта призма – прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.

 

Например, ребро АА₁ перпендикулярно плоскости АВС.  Ребро АА₁ является высотой этой призмы.

Рис. 4

Заметим, что боковая грань АА₁В₁В перпендикулярна к основаниям АВС и А₁В₁С₁, так как она проходит через перпендикуляр АА₁ к основаниям.

 

Наклонная призма

 

 

Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 5). Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А₁ перпендикуляр А₁Н на АВС, то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок АН – это проекция отрезка АА₁ на плоскость АВС.

 

Тогда угол между прямой АА₁ и плоскостью АВС это угол между прямой АА₁ и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А₁АН.

Рис. 5

 

Четырехугольная призма

 

 

Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 6). Рассмотрим, как  она получается.

 

1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A₁B₁C₁D₁: ABCD = A₁B₁C₁D₁.

2) Четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║А₁B₁C (α ║ β).

3) Четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁  расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА₁║ВВ₁║СС₁║DD₁.

Определение. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Например, АС₁ – диагональ четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁.

Определение. Если боковое ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.

Рис. 6

 

Параллелепипед

 

 

Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ изображен на рис. 7.

 

Рассмотрим, как он устроен:

1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае – равные параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁: ABCD = A₁B₁C₁D₁.

2) Параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║A₁B₁C₁ (α ║ β).

3) Параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: АА₁║ВВ₁║СС₁║DD₁.

Рис. 7

Из точки А₁ опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС. Отрезок А₁Н является высотой.

 

Шестиугольная призма

 

 

Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).

 

1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁: ABCDEF = A₁B₁C₁D₁E₁F₁.

2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC║А₁B₁C (α ║ β).

3) Шестиугольники ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: АА₁║ВВ₁…║FF₁.

Рис. 8

Определение. Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.

 

Правильная призма

 

 

Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

 

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА₁В₁С₁.

Рис. 9

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма - прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани – равные прямоугольники.

Итак, если треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – правильная, то:

1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA₁ ⊥ АВС.

2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС – правильный.

 

Площадь поверхности призмы

 

 

Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается S_полн.

 

Определение. Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается S_бок.

Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:

S_полн = S_бок+ 2S_осн.

 

Теорема о площади боковой поверхности призмы

 

 

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

 

Доказательство проведем на примере треугольной призмы.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – прямая призма, т. е. АА₁ ⊥ АВС.

АА₁ = h.

Доказать: S_бок = Р_осн ∙ h.

Рис. 10

Доказательство.

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – прямая, значит, АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С – прямоугольники.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С:

S_бок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P_осн ∙ h.

Получаем, S_бок = Р_осн ∙ h, что и требовалось доказать.

 

Итоги урока

 

 

Мы познакомились с многогранниками, призмой, её разновидностями. Доказали теорему о боковой поверхности призмы. На следующем уроке мы будем решать задачи на призму.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Якласс (Источник).
2. Shkolo.ru (Источник).
3. Старая школа (Источник).
4. WikiHow (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Какое минимальное число граней может иметь призма? Сколько вершин, ребер у такой призмы?
2. Существует ли призма, которая имеет в точности 100 ребер?
3. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту призмы, если боковое ребро равно 6 см.
4. В прямой треугольной призме все ребра равны. Площадь ее боковой поверхности составляет 27 см². Найдите площадь полной поверхности призмы.