Математика

 

 

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

 

Урок: Повторение теории. Решение простейших задач на параллельность прямой и плоскости

 

 

Определение параллельных прямых

 

 

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

 

Рис. 1.

 

Теорема о параллельных прямых

 

 

Теорема о параллельных прямых.

 

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Пояснение к теореме

Дана прямая а, и точка М, не лежащая на ней:  (Рис. 2.). Тогда через точку М проходит только одна прямая b, которая параллельная прямой а.

Рис. 2.

 

Лемма

 

 

Лемма

 

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Пояснение к лемме

Даны две параллельные прямые а и b. Прямая а пересекает плоскость  в точке М. Лемма утверждает, что прямая b тоже пересекает плоскость  в некоторой точке, назовем ее N (Рис. 3.).

 

Рис. 3.

 

Теорема о трех параллельных прямых

 

 

Теорема о параллельности трех прямых.

 

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Пояснение к теореме.

Даны три прямые а, b, с, такие, что а параллельна с и b параллельна с (Рис. 4.). Теорема утверждает, что прямая а параллельна прямой b.

Рис. 4.

 

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости

 

 

Аксиома А2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости

 

Из аксиомы А2 вытекают три случая взаимного расположения прямой и плоскости.

1) Прямая а целиком лежит в плоскости α:  (Рис. 5.).

Рис. 5.

2) Прямая а имеет одну общую точку с плоскостью α:. Другими словами, прямая а и плоскость α пересекаются (Рис. 6.).

Рис. 6.

3) Прямая a не имеет общих точек с плоскостью α:  (Рис. 7.).

Рис. 7.

 

Определение параллельности прямой и плоскости

 

 

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

 

 

Признак параллельности прямой и плоскости

 

 

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

 

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Пояснение к признаку.

Дана плоскость , прямая а, которая параллельна прямой b, лежащей в плоскости  (Рис. 8.). Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, этого достаточно, чтобы прямая а была параллельна всей плоскости.

Рис. 8.

 

Утверждение 1

 

 

Из данного признака вытекает два утверждения, полезных для решения задач. 

 

Утверждение 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пояснение утверждения

Дана плоскость  и прямая а, которая параллельна плоскости  (Рис. 9.). Через прямую а можно провести много плоскостей, которые пересекают плоскость . Проведем через прямую а плоскость . Согласно утверждению, линия пересечения плоскостей  и  – прямая b будет параллельна прямой а.

Рис. 9.

 

Утверждение 2

 

 

Утверждение 2

 

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Пояснение утверждения

Есть две параллельные прямые а и b и плоскость . Одна из параллельных прямых, например, прямая а, параллельна плоскости . Отсюда следует, согласно утверждению, что прямая b либо параллельна плоскости  (Рис. 10.), либо лежит в плоскости  (Рис. 11.).

 

Рис. 10.

Рис. 11.

 

Задача 1  

 

 

Задача 1.

 

Параллельные прямые а и b лежат в плоскости . Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и b, также лежит в плоскости .

Дано: а || b,

Доказать:

Рис. 12.

Доказательство: (Рис. 12.)

Точка А прямой с, принадлежит и прямой а, а значит, и плоскости . Точка В прямой с принадлежит прямой b, а значит, и плоскости . Так как две точки прямой с принадлежат плоскости , то и вся прямая лежит в плоскости , в силу аксиомы А2.

 

Задача 2  

 

 

Задача 2.

 

Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость . Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость .

Дано: ABCD – параллелограмм,

Доказать: прямые AD и DC пересекают плоскость .

Рис. 13.

Доказательство: (Рис. 13.)

Обозначим плоскость АВС как . Тогда плоскости  и  пересекаются по прямой MN. Прямая АВ пересекается с плоскостью , и прямые АВ и CD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая CD также пересекается с плоскостью . Аналогично, прямая ВCпересекается с плоскостью , и прямые ВС и АD параллельны (как стороны параллелограмма). Тогда, согласно лемме, прямая АD также пересекается с плоскостью , что и требовалось доказать.

Давайте найдем эти точки пересечения. Пусть прямая CD пересекается с плоскостью  в точке Q, а прямая АD пересекается с плоскостью  в точке F.

Плоскости  и  пересекаются по прямой MN, значит все их общие точки лежат на этой прямой. Продолжим прямые CD и  АD до их пересечения с прямой MNи получим соответственно точки Q и F (Рис. 14.).

Рис. 14.

 

Задача 3

 

 

Задача 3.

 

Средняя линия трапеции лежит в плоскости , не совпадающей с плоскостью . Пересекаются ли прямые, содержащие основания трапеции, с плоскостью ?

Дано: ABCD – трапеция, MN – средняя линия.

Найти: пересекаются ли прямые AD и ВC плоскость .

Рис. 15.

Решение: (Рис. 15.)

Вспомним, что средняя линия трапеции параллельна ее основанием. Значит, прямые AD и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскости . Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, AD параллельна плоскости .

Аналогично, прямые ВC и MN параллельны, а прямая MN принадлежит плоскости . Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, ВC параллельна плоскости .

Ответ задачи: нет, не пересекаются.

 

Задача 4

 

 

Задача 4.

 

Точка D не лежит плоскости прямоугольника KLMN. Доказать, что MN || DKL.

Дано: KLMN – прямоугольник,

Доказать: MN || DKL

Рис. 16.

Доказательство: (Рис. 16.)

Прямые KL и MN параллельны, а прямая KL принадлежит плоскости DKL. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, MN параллельна плоскости DKL, что и требовалось доказать.

 

Итоги урока

 

 

Итак, мы рассмотрели теорию о параллельности прямой и плоскости, применили эту теорию к решению задач. Далее эта теория будет использована при рассмотрении вопроса о параллельности плоскостей.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).

3. Якласс (Источник).

4. Fizma.net (Источник).

5. ФМ Класс (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Прямая а не параллельна плоскости β. Существуют ли в плоскости β прямые, не параллельные прямой а?

2. Плоскость β пересекает отрезки АВ и АС в их серединах. Докажите, что прямая ВС параллельна плоскости β.

3. Плоскость β пересекает отрезки АВ и АС в их серединах – точках К и Р. Как относятся площади треугольников АВС и АКР?

4. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

Задания 9, 10 стр. 26