Математика

Повторение

 

Определение: две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

 

Теорема (признак скрещивающихся прямых): если прямая  принадлежит плоскости , а прямая  пересекает плоскость  в точке , не принадлежащей , то прямые  и  скрещиваются (Рис. 1).

Рис. 1. Скрещивающиеся прямые

Заметим, что через точку  можно провести много прямых, пересекающих плоскость . Например, проведем прямую  (Рис. 2). Она также будет скрещиваться с прямой .

Рис. 2. Другая пара скрещивающихся прямых

 

Типовые конструкции со скрещивающимися прямыми

 

 

1) Рассмотрим параллелограмм . Прямые  и  пересекаются в точке . Сдвинем прямую  на вектор , который не лежит в плоскости . Получаем прямую ,назовем эту прямую  (Рис. 3). Прямые  и  – скрещивающиеся. Почему? Через две параллельные прямые  и  проходит плоскость, назовем ее . Прямая  лежит в плоскости , а прямая  пересекает плоскость  в точке, не лежащей на прямой . По признаку, прямые  и  – скрещивающиеся.

 

Рис. 3. Иллюстрация первой ситуации

2) Рассмотрим плоскость . В этой плоскости прямые  и  пересекаются в точке . Осуществим поворот прямой  на угол , вне плоскости . Получаем прямую  (Рис. 4). Тогда прямые  и скрещиваются. Докажем это. Прямая  пересекается с прямой  в точке . Значит, через них проходит единственная плоскость, назовем ее . Прямая  лежит в плоскости,а прямая  пересекает эту плоскость в точке , не лежащей на прямой . Значит, согласно признаку, прямые  и  скрещиваются.

Рис. 4. Иллюстрация второй ситуации

 

Три случая расположения прямых в пространстве

 

 

1)  Прямые  и  пересекаются в некоторой точке :  (Рис. 5). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

 

Рис. 5. Прямые пересекаются

2)  Прямые  и  параллельны:  (Рис. 6). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Рис. 6. Прямые параллельны

3)  Прямые  и  скрещиваются (Рис. 7). То есть прямые  и  не лежат в одной плоскости.

Рис. 7. Прямые скрещиваются

Заметим, что и в первом, и во втором случае прямые лежали в одной плоскости, а в третьем – нет.

 

Теорема о скрещивающихся прямых

 

 

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

 

Пояснение

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые  и  (Рис. 8). Через прямую  проходит единственная плоскость , параллельная прямой . Аналогично через прямую  проходит единственная плоскость, параллельная прямой .

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

 

Задачи

 

 

Задача 1

 

Через точку , не лежащую на прямой , проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой . Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая  являются скрещивающимися прямыми (Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 1

Решение

1) Так как  не имеет общих точек с  (по условию), то она либо скрещивается с , либо .

2) Пусть , тогда вторая прямая  пересекает плоскость  в точке , не лежащей на , и поэтому скрещивается с  (Рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к случаю при 

3) Пусть , тогда  скрещивается с  по той же причине, что и в пункте  (Рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к случаю при

Вывод: по крайней мере одна из прямых ( или ) скрещивается с .

Задача 2

Прямая  пересекает прямую  и не пересекает прямую , параллельную прямой . Докажите, что  и  скрещивающиеся прямые (Рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 2

Доказательство

Вспомним, что две параллельные прямые задают плоскость. Назовем ее  (Рис. 13).

Рис. 13. Параллельные прямые  и  задают плоскость

Через пересекающиеся прямые тоже проходит плоскость. Назовем ее  (Рис. 14).

Рис. 14. Пересекающиеся прямые  и  задают плоскость

Тогда

1) ,

2) прямая  пересекает  в точке , не лежащей на ; значит,  и  скрещиваются (по признаку скрещивающихся прямых).

Ч.т.д.

Задача 3

Основание  трапеции  параллельно плоскости , а вершина  лежит в этой плоскости (Рис. 15). Докажите, что:

А) основание  трапеции лежит в плоскости ,

Б) средняя линия трапеции параллельна плоскости .

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 3

Доказательство

1) Имеем  (основания трапеции) и . Так как вершина , то прямая  лежит в плоскости .

Если бы , то и  пересекала бы плоскость , а это противоречит условию. Следовательно, .

2)  или . Но если , то  (по аксиоме ), а это противоречит условию . Следовательно, .

Ч.т.д.

Задача 4

Через вершину  ромба  проведена прямая , параллельная диагонали , а через вершину  – прямая , не лежащая в плоскости ромба (Рис. 16). Докажите, что:

1) прямые  и  пересекаются,

2)  и  – скрещивающиеся прямые.

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 4

Доказательство

1) Через точку  проходит только одна прямая , поэтому  (Рис. 17).

Рис. 17.

Или  пересекает , а значит, и пересекает параллельную ей прямую .

2) Точка  (точка  и прямая  лежат по разные стороны от прямой ). Прямая  пересекает плоскость  в точке . Значит,  и  скрещиваются (по признаку скрещивающихся прямых).

Ч.т.д.

Задача 5

На скрещивающихся прямых  и  отмечены соответственно точки  и . Через прямую  и точку  проведена плоскость , а через прямую  и точку  – плоскость .

А) Лежит ли прямая  в плоскости ?

Б) Пересекаются ли плоскости  и ? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются (Рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 5

Решение

А) Скрещивающиеся прямые  и  не могут лежать в одной плоскости  (это противоречит определению скрещивающихся прямых).

Ответ: нет.

Б) , .

Ответ: пересекаются по прямой .

Задача 6

Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.

Доказательство

Пусть  и  скрещивающиеся прямые, и для них найдется такая прямая , что  (по лемме). Получили противоречие (Рис. 19).

Рис. 19. Каждая из двух скрещивающихся прямых не может быть параллельна третьей прямой

Ответ: нет.

 

Заключение

 

 

Итак, мы повторили теорию касательно прямых и решили ряд задач на скрещивающиеся прямые.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / Смирнова И.М., Смирнов В.А. М.: Мнемозина, 2008.
2. Геометрия. 10–11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И.Ф. М.: Дрофа, 1999.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики / Потоскуев Е.В., Звалич Л.И. М.: Дрофа, 2008.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
2. Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)
3. Интернет-сайт 900igr.net (Источник)

 

Домашнее задание

1. Какие прямые называются скрещивающимися? Как найти угол между ними?
2. Дан куб . Докажите, что прямые скрещивающиеся:

                 а)  и ,

                 б)  и .

  3. В плоскости лежит треугольник , a точка  не находится в этой плоскости. Точки ,  и  соответственно середины отрезков ,  и . Определите взаимное расположение данных прямых (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче