Математика

Тема 14: Параллельность прямых и плоскостей. Профильный уровень

Урок 9: Повторение теории, решение задач по теме

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Повторение

Определение: две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема (признак скрещивающихся прямых): если прямая принадлежит плоскости , а прямая пересекает плоскость в точке , не принадлежащей , то прямые и скрещиваются (Рис. 1).

Рис. 1. Скрещивающиеся прямые

Заметим, что через точку можно провести много прямых, пересекающих плоскость . Например, проведем прямую (Рис. 2). Она также будет скрещиваться с прямой .

Рис. 2. Другая пара скрещивающихся прямых

Типовые конструкции со скрещивающимися прямыми

1) Рассмотрим параллелограмм . Прямые и пересекаются в точке . Сдвинем прямую на вектор , который не лежит в плоскости . Получаем прямую ,назовем эту прямую (Рис. 3). Прямые и – скрещивающиеся. Почему? Через две параллельные прямые и проходит плоскость, назовем ее . Прямая лежит в плоскости , а прямая пересекает плоскость в точке, не лежащей на прямой . По признаку, прямые и – скрещивающиеся.

Рис. 3. Иллюстрация первой ситуации

2) Рассмотрим плоскость . В этой плоскости прямые и пересекаются в точке . Осуществим поворот прямой на угол , вне плоскости . Получаем прямую (Рис. 4). Тогда прямые и скрещиваются. Докажем это. Прямая пересекается с прямой в точке . Значит, через них проходит единственная плоскость, назовем ее . Прямая лежит в плоскости,а прямая пересекает эту плоскость в точке , не лежащей на прямой . Значит, согласно признаку, прямые и скрещиваются.

Рис. 4. Иллюстрация второй ситуации

Три случая расположения прямых в пространстве

1) Прямые и пересекаются в некоторой точке : (Рис. 5). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Рис. 5. Прямые пересекаются

2) Прямые и параллельны: (Рис. 6). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Рис. 6. Прямые параллельны

3) Прямые и скрещиваются (Рис. 7). То есть прямые и не лежат в одной плоскости.

Рис. 7. Прямые скрещиваются

Заметим, что и в первом, и во втором случае прямые лежали в одной плоскости, а в третьем – нет.

Теорема о скрещивающихся прямых

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Пояснение

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые и (Рис. 8). Через прямую проходит единственная плоскость , параллельная прямой . Аналогично через прямую проходит единственная плоскость, параллельная прямой .

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Задачи

Задача 1

Через точку , не лежащую на прямой , проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой . Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая являются скрещивающимися прямыми (Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 1

Решение

1) Так как не имеет общих точек с (по условию), то она либо скрещивается с , либо .

2) Пусть , тогда вторая прямая пересекает плоскость в точке , не лежащей на , и поэтому скрещивается с (Рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к случаю при

3) Пусть , тогда скрещивается с по той же причине, что и в пункте (Рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к случаю при

Вывод: по крайней мере одна из прямых ( или ) скрещивается с .

Задача 2

Прямая пересекает прямую и не пересекает прямую , параллельную прямой . Докажите, что и скрещивающиеся прямые (Рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 2

Доказательство

Вспомним, что две параллельные прямые задают плоскость. Назовем ее (Рис. 13).

Рис. 13. Параллельные прямые и задают плоскость

Через пересекающиеся прямые тоже проходит плоскость. Назовем ее (Рис. 14).

Рис. 14. Пересекающиеся прямые и задают плоскость

Тогда

1) ,

2) прямая пересекает в точке , не лежащей на ; значит, и скрещиваются (по признаку скрещивающихся прямых).

Ч.т.д.

Задача 3

Основание трапеции параллельно плоскости , а вершина лежит в этой плоскости (Рис. 15). Докажите, что:

А) основание трапеции лежит в плоскости ,

Б) средняя линия трапеции параллельна плоскости .

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 3

Доказательство

1) Имеем (основания трапеции) и . Так как вершина , то прямая лежит в плоскости .

Если бы , то и пересекала бы плоскость , а это противоречит условию. Следовательно, .

2) или . Но если , то (по аксиоме ), а это противоречит условию . Следовательно, .

Ч.т.д.

Задача 4

Через вершину ромба проведена прямая , параллельная диагонали , а через вершину – прямая , не лежащая в плоскости ромба (Рис. 16). Докажите, что:

1) прямые и пересекаются,

2) и – скрещивающиеся прямые.

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 4

Доказательство

1) Через точку проходит только одна прямая , поэтому (Рис. 17).

Рис. 17.

Или пересекает , а значит, и пересекает параллельную ей прямую .

2) Точка (точка и прямая лежат по разные стороны от прямой ). Прямая пересекает плоскость в точке . Значит, и скрещиваются (по признаку скрещивающихся прямых).

Ч.т.д.

Задача 5

На скрещивающихся прямых и отмечены соответственно точки и . Через прямую и точку проведена плоскость , а через прямую и точку – плоскость .

А) Лежит ли прямая в плоскости ?

Б) Пересекаются ли плоскости и ? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются (Рис. 18).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 5

Решение

А) Скрещивающиеся прямые и не могут лежать в одной плоскости (это противоречит определению скрещивающихся прямых).

Ответ: нет.

Б) , .

Ответ: пересекаются по прямой .

Задача 6

Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.

Доказательство

Пусть и скрещивающиеся прямые, и для них найдется такая прямая , что (по лемме). Получили противоречие (Рис. 19).

Рис. 19. Каждая из двух скрещивающихся прямых не может быть параллельна третьей прямой

Ответ: нет.

Заключение

Итак, мы повторили теорию касательно прямых и решили ряд задач на скрещивающиеся прямые.

Список рекомендованной литературы

Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / Смирнова И.М., Смирнов В.А. М.: Мнемозина, 2008.
Геометрия. 10–11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И.Ф. М.: Дрофа, 1999.
Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики / Потоскуев Е.В., Звалич Л.И. М.: Дрофа, 2008.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)
Интернет-сайт cleverstudents.ru (Источник)
Интернет-сайт 900igr.net (Источник)

Домашнее задание

Какие прямые называются скрещивающимися? Как найти угол между ними?
Дан куб . Докажите, что прямые скрещивающиеся:

а) и ,

б) и .

3. В плоскости лежит треугольник , a точка не находится в этой плоскости. Точки , и соответственно середины отрезков , и . Определите взаимное расположение данных прямых (Рис. 1).