Математика

 

 

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

 

Урок: Повторение теории и решение типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости

 

Тема урока

 

 

На этом уроке мы повторим теоретический материал прошлых уроков и решим типовые задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.

 

 

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

 

 

Определение. Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой х, лежащей в этой плоскости (рис. 1).

 

Рис. 1

 

Признак параллельности прямой и плоскости

 

 

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

 

В плоскости α лежат две прямые b и c, пересекающиеся в точке О. Прямая а перпендикулярна прямой b и прямой c (рис. 2). Согласно признаку, прямая а перпендикулярна плоскости α.

Рис. 2

 

Теорема о существовании прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости

 

 

Через любую точку М пространства проходит единственная прямая а, перпендикулярная плоскости α.

 

Рис. 3

 

Задача 1

 

 

Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 4). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р₁ и Q₁. Докажите, что PQ = P₁Q₁.

 

Рис. 4

Дано: ,

 

 

 

Доказать:

Доказательство:

Две прямые РР₁ и QQ₁ перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P₁Q₁ параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

Рассмотрим прямоугольник РР₁Q₁Q. В прямоугольнике РР₁Q₁Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P₁Q₁, что и требовалось доказать.

 

Задача 2

 

 

Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие ее соответственно в точках P₁ и Q₁.

 

Найдите P₁Q₁, если PQ = 15см., РР₁= 21,5 см., QQ₁= 33,5 см.

Рис. 5

Дано:  см

 см

 см

Найти:

Решение:

Две прямые РР₁ и QQ₁ перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, прямые РР₁ и QQ₁ параллельны. Значит, через них проходит единственная плоскость PQQ₁P₁. Прямая РР₁ перпендикулярная плоскости α, а значит и прямой Р₁Q₁. Так как прямые РР₁ и QQ₁ параллельны, а угол РР₁Q₁ прямой, то четырехугольник РР₁Q₁Q - прямоугольная трапеция.

Рис. 6

Проведем прямую РА перпендикулярно прямой QQ₁.Отрезки РА и P₁Q₁ равны.

Отрезок Q₁A равен отрезку РР₁. Найдем QA: QA = QQ₁ - АQ₁ = QQ₁ - РР₁ = 33,5 - 21,5 = 12 см.

Рассмотрим треугольник АРQ. Он прямоугольный, так как угол QАР прямой. Найдем катет РА.

 см.

P₁Q₁ = РА = 9 см.

Ответ: 9 см.

 

Задача 3

 

 

Четырехугольник АВСD – квадрат. Точка О его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

 

а) Докажите, что МА = МВ = МС = МD

б) Найдите МА, если АВ = 4 см. ОМ = 1 см.

Напоминание:

Рассмотрим квадрат АВСD (рис. 7). Как известно, точка пересечения диагоналей О равноудалена и от вершин квадрата, и от сторон квадрата. То есть она является центром описанной окружности с радиусом R и центром вписанной окружности с радиусом r. Точка О и называется центром квадрата, т.е. это точка пересечения диагоналей. Если сторона квадрата равна а, то радиус описанной окружности равен:

Радиус вписанной окружности равен:

Рис. 7

Дано:

АВСD – квадрат

О – центр квадрата

 

АВ = 4 см, ОМ = 1 см.

Доказать: МА = МВ = МС = МD.

Найти: МА

Рис. 8

Прямая МО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, прямая МО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости, в том числе и диагоналям квадрата. Значит, треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD прямоугольные.

Рассмотрим треугольники МОА, МОВ, МОС, МОD. По свойству квадрата ОА = ОВ = ОС = ОD. Значит, эти стороны треугольников равны друг другу. Катет МО общий. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по двум катетам. Из равенства прямоугольных треугольников вытекает равенство его гипотенуз: МА = МВ = МС = МD, что и требовалось доказать. Найдем теперь отрезок МА.

Рассмотрим квадрат АВСD. АО – это радиус описанной окружности. Получаем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник МОА. С помощью теоремы Пифагора найдем гипотенузу МА:

Ответ: 3 см.

 

Итоги урока

 

 

Итак, мы повторили доказательства теорем, основные опорные факты и решили типовые задачи на перпендикулярность прямой и плоскости.

 

Следующий урок мы посвятим задачам по данной теме.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Фестиваль педагогических идей "Первое сентября" (Источник)

2. Фестиваль педагогических идей "Первое сентября" (Источник)

3. Dok.opredelim.com (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 12, 13, 14 стр. 58

2. Отрезок АВ – общее основание равнобедренных треугольников. Найдите фигуру, которую образовывают третьи вершины всех таких треугольников.

3. Докажите, что если прямая с перпендикулярна прямой а и плоскости α, то прямая а параллельна плоскости α.

4. Прямая а перпендикулярна прямой с, а прямая с параллельна плоскости α. Перпендикулярна ли прямая а плоскости α?