Математика

 

 

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

 

Урок: Повторение теории по темам «Теорема о трех перпендикулярах» и «Угол между прямой и плоскостью»

 

Тема урока

 

 

На этом уроке мы повторим теорию по темам «Теорема о трех перпендикулярах» и «Угол между прямой и плоскостью».

 

 

Перпендикуляр, наклонная, проекция, расстояние от точки до плоскости

 

 

Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, .

 

Рис. 1.

Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α.

Определение. Пусть точка М другая произвольная точка плоскости α. Тогда отрезок АМ называется наклонной, а отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α. 

Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. ρ(А; α) = АН.

 

Расстояние между параллельными плоскостями

 

 

Рассмотрим параллельные плоскости α и β. На плоскости α выберем произвольную точку А (рис. 2). Из точки А опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость β. Перпендикуляр АА₀ и назовем расстоянием между плоскостями α и β.

 

Рис. 2.

 

Расстояние между прямой и плоскостью

 

 

Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой а равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АН на плоскость α (рис. 3). Длина перпендикуляра АН и называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

 

АН = р(а; α).

Рис. 3.

 

Расстояние между скрещивающимися прямыми

 

 

Пусть прямые а и b скрещиваются (то есть прямые а и b не лежат в одной плоскости). Через прямую а можно провести единственную плоскость, которая будет параллельна прямой b (рис. 4). Точно так же через прямую b можно провести единственную плоскость, которая будет параллельна прямой а.

 

Рис. 4

Итак, паре скрещивающихся прямых соответствует пара параллельных плоскостей α и β. Расстояние между скрещивающимися прямыми а и b равно расстоянию между параллельными плоскостями α и β.

 

Проекция фигуры на плоскость

 

 

Пусть дана точка А, плоскость α, перпендикуляр АН к плоскости α, Н - основание перпендикуляра. Тогда точка Н – это проекция точки А на плоскость α. Таким образом, проекция точки – это основание перпендикуляра.

 

Рис. 5.

 

Утверждение о проекции прямой на не перпендикулярную к ней плоскость

 

 

Проекцией прямой а на не перпендикулярную к ней плоскость α является прямая.

 

Рассмотрим прямую а и не перпендикулярную ей плоскость α (рис. 6). На прямой а выберем точки А и А₁ и опустим с них перпендикуляры АН и А₁Н₁ на плоскость α. Прямая, проходящая через основания перпендикуляров Н и Н₁, назовем ее, и является проекцией прямой а на плоскость α: .

Рис. 6.

 

Теорема о трех перпендикулярах

 

 

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

 

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. 

Пусть прямая а лежит в плоскости α, прямая АН перпендикулярна плоскости α, АМ – наклонная к плоскости α, НМ – проекция наклонной АМ на плоскость α. Проведем прямую  через точку М и прямую а, параллельно прямой . Тогда:

Рис. 7.

 

Обсуждение

 

 

Рассмотрим плоскость α, в ней лежит прямая а, АМ - наклонная, АН - перпендикуляр, НМ – проекция наклонной АМ (рис. 8). Прямая АМ имеет единственную проекцию НМ на плоскости α, но прямая НМ из плоскости α является проекцией не только для наклонной АМ, но и для наклонной А₁М.

 

Пусть плоскость β образована наклонной АМ и ее проекцией НМ. Можно заключить, что НМ является проекцией любой прямой, не перпендикулярной к плоскости α, которая расположена в плоскости β. То есть, плоскость β проектируется в прямую НМ.

Рис. 8.

 

Угол между прямой и плоскостью

 

 

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

 

Рис. 9.

Рассмотрим плоскость α и прямую a = АМ, АН - перпендикуляр, МН - проекция прямой АМ на плоскость α. Угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией МН, т.е. угол НМА = φ. Обозн.:

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 0°. Прямая а параллельна плоскости α (рис. 10), тогда .

Рис. 10.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она проектируется в точку, угол между прямой и плоскостью считается равным 90°. Прямая а перпендикулярна плоскости α (рис. 11), тогда .

Рис. 11.

 

Свойство угла между прямой и плоскостью

 

 

Прямая МА проходит через точку А на плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ₀ ≠  90°. Угол φ₀ является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку А.

 

Рис. 12.

 

Задача 1

 

 

Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные.

 

Докажите, что

а) если наклонные равны, то равны и их проекции;

б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные;

в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть дана плоскость α, точка А. Из точки А проведены две наклонные АМ и АN и перпендикуляр АН. Тогда МН – это проекция наклонной АМ, НN– проекция наклонной АNна плоскость α.

Рис. 13.

а)

Дано: AM = AN

Доказать: MH = НN

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AHM и AHN. Они прямоугольные, так как прямая АН перпендикулярна плоскости  α. По условию, AM = AN, а катет АН – общий. Тогда треугольники AHM и AHN равны по общему катету и равным гипотенузам. Из равенства треугольников следует равенство катетов МН и NН, что и требовалось доказать.

б)

Дано: MН = НN

Доказать: MА = АN

Доказательство:

Снова рассмотрим прямоугольные треугольники AHM и AHN. По условию, НM = НN, а катет АН – общий. Тогда треугольники AHM и AHN равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз МА и NА, что и требовалось доказать.

Вывод:

в)

Дано: АМ  > AN

Доказать: МН > NН

Доказательство: Из условий имеем, что . Тогда

По теореме Пифагора получаем, что , а .Значит, МН² > NН², МН > NН, что и требовалось доказать.

 

Задача 2

 

 

Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

 

Дано:  ρ (A; α) = 6 см.

КА = КМ

Найти: ρ (К; α).

Рис. 14.

Решение:

Нам дана плоскость α. С точки А опустим перпендикуляр АН на плоскость α. Расстояние от точки А до плоскости α равно длине перпендикуляра АН, значит АН = 6 см. Пусть К – середина отрезка АМ, т.е. МК = АК.

Прямая МА проектируется в прямую МН. Проведем перпендикуляр KL к прямой МН.  Так как прямые KL и АН перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

По теореме Фалеса заключаем, так как отрезки МК и АК равны, то параллельные прямые KL и АН отсекают равные отрезки на другой стороне угла AMH, то есть МL = LH.

KL – это средняя линия треугольника АМН. По свойству средней линии, . KL= 3 см.

Ответ: 3 см.

 

Итоги урока

 

 

Итак, мы вспомнили теорию по данным темам. Обсудили важные понятия: расстояние, перпендикуляр, наклонная и другие.

 

На следующем уроке мы решим задачи по данной теме.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ (Источник)

2. Школьные страницы (Источник)

3. ЕГЭ (Источник)

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 8, 9 стр. 65

2. Стороны треугольника равняются 7 см, 9 см и 14 см. В вершине наибольшего угла построен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 3 см. Найдите расстояния от концов перпендикуляра до середины наибольшей стороны треугольника.

3. Периметр равностороннего треугольника равен 144 см, а расстояния от точки М к каждой стороне треугольника 49. Найдите расстояние от точки М к плоскости треугольника.

4. Периметр ромба ABCD равен 1 м, диагонали ромба относятся, как 3 : 4. В вершине ромба к его плоскости построен перпендикуляр АМ, АМ = 10 см. Найдите расстояние от точки М до стороны ромба, которую этот перпендикуляр не пересекает.