Математика

 

 

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

 

Урок: Типовые задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью

 

Тема урока

 

 

К изучению предлагается тема «Типовые задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью».

 

 

Теорема о трех перпендикулярах

 

 

Имеем плоскость α (рис. 1). В плоскости α  лежит прямая b. АН – перпендикуляр к плоскости α, АМ – наклонная, МН - проекция наклонной АМ на плоскость α. 

 

По теореме о трех перпендикулярах, наклонная перпендикулярна к прямой b тогда и только тогда, когда ее проекция перпендикулярна к прямой b.

Рис. 1 

В теореме идет речь трех перпендикулярах. Укажем их:

АH – это перпендикуляр к плоскости α, а значит, к прямой b.

HМ – проекция, перпендикуляр к прямой b.

АМ – наклонная, перпендикуляр к прямой b.

 

Угол между прямой и плоскостью

 

 

Рассмотрим плоскость α и прямую а, а = АМ (рис. 2). Пусть прямая а пересекает плоскость α, но не перпендикулярна ей. Тогда углом между прямой а и плоскостью α называется угол между прямой а и ее проекцией на эту плоскость. То есть, угол меду прямой а и плоскостью α - это угол АМН. Пусть

 

Рис. 2

Свойство угла между прямой и плоскостью

Через точку М в плоскости α проведем прямую МВ (рис. 2). Рассмотрим угол между прямой а и прямой МВ, назовем его φ. Тогда по свойству угла между прямой и плоскостью получаем, что .

 

Задача 1

 

 

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, точка М – середина стороны ВС.

 

1) Докажите, что МК ⊥ ВС

2) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВС, если АК = а, ВС = 2а.

1) Дано:

AB = BC = CA,

AK ⊥ ABC,

BM = MC.

Доказать: МК ⊥ ВС.

Рис. 3

Доказательство:

АМ - это проекция наклонной КМ на плоскость АВС. АМ - медиана. По свойству правильного треугольника медиана АМ является и высотой, то есть прямые ВС и АМ перпендикулярны.

Первый способ:

Прямая ВС перпендикулярна АМ - проекции наклонной МК. По теореме о трёх перпендикулярах получаем, что прямая ВС перпендикулярна и наклонной МК, что и требовалось доказать.

Второй способ:

Прямая АК перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой ВС, лежащей в плоскости АВС. Имеем, ВС перпендикулярна АМ, ВС перпендикулярна АК, значит, ВС перпендикулярна плоскости МАК, а значит, и прямой МК, лежащей в этой плоскости, что и требовалось доказать.

2) Дано:

АВ = ВС = СА,

АК ⊥ АВС,

ВС = 2а,

АК = а,

Найти: ∠(КМ; АВС)

Решение:

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскости. Мы имеем наклонную МК, имеем ее проекцию АМ. Значит, углом между прямой МК и плоскостью АВС является угол АМК.

Треугольник АВС – правильный. Значит, все его углы равны 60°. Значит, ∠АВС = 60°.

Рассмотрим треугольник АМВ. Он прямоугольный, так как АМ ⊥ ВС. Найдем АМ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМК. AK = a,

Угол АМК – острый, значит,

Ответ: 30°.

 

Задача 2

 

 

Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВСD (рис. 4).

 

1) Докажите, что треугольники АМD и МСD – прямоугольные.

2) Найдите угол между прямой МD и плоскостью АВС, если СD = 3см,

АD = 4 см, МВ=5 см.

Рис. 4

1) Дано: прямоугольник АВСD, МВ ⊥ АВС. 

Доказать: ∆АМD и  ∆МСD – прямоугольные

Доказательство:

МВ – перпендикуляр к плоскости АВС. МА – наклонная, ВА - ее проекция. Проекция ВА перпендикулярна прямой АD из плоскости АВС. Значит, и наклонная МА перпендикулярна DА (по теореме о трех перпендикулярах). Таким образом, треугольник АМD - прямоугольный, так как угол МАD - прямой.

Аналогично, МС – наклонная, ВС - проекция наклонной МС на плоскость АВС. Проекция ВС перпендикулярна СD, значит, и наклонная МС перпендикулярна СD(по теореме о трех перпендикулярах). Угол МСD прямой, треугольник МСD прямоугольный.

2) Дано:

АВСD – прямоугольник, МD ⊥ АВС

СD = 3 см, АD = 4 см, МВ = 5 см.

Найти: ∠(DМ; АВС).

Решение:

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость. DМ - наклонная, DВ ее проекция на плоскость АВС, следовательно, нам нужно найти угол МDВ. Обозначим его за φ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВАD. АВ = СD = 3 см (как противоположные стороны прямоугольника). Найдем ВD по теореме Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник МВD. Найдем угол ВDМ.

Угол φ – острый, значит,  

Ответ:  

 

Итоги урока

 

 

Итак, мы рассмотрели типовые задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью.

 

Следующий урок мы также посвятим решению задач по этим важным темам.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. СССР (Источник).

2. Якласс (Источник).

3. Банк ЕГЭ (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 14, 15 стр. 63

2. Катеты прямоугольного треугольника АВ = 8 см и АС = 14 см перпендикулярны прямой АМ, на которой отмечена точка К, так что АК = 4 см. Найдите расстояние от точки К до середины гипотенузы.

3. К плоскости треугольника АВС, стороны которого АВ = 8 см, АС = 15 см, а угол между ними 120°, проведен перпендикуляр АМ = 42 см. Найдите расстояние от точки М до середины стороны ВС.

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ укажите углы наклона диагонали B₁D к плоскостям граней, имеющих общую вершину В. Вычислите эти углы, если АВ = ВВ₁ = а, ВС = 2а.